Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
9.1.53. zV + (1 - 2p) zw' + (XVzaa + p* - *V> w - 0.
«•-г® Sv(Xzs).
9.1.54. №" + (X'e'z - v") w = 0, IV - «v(Xe8).
9.1.55. z!(za - v!) IV' + z(za - 3vs) и.' +
+ {(z' - ff - (za + v2)} w = O1 IV- 8",(z).
9.1.56. ivC« = (- 1)" Xs»z-»iv,
IV = z»'a SnVlxz"'),
где « — любое значение корня степени 2л из единицы.
Дифференциальные уравнения для произведений
Обозначения: O и=. Z — , SvW1 ®л(2) — любые E dz
линдрические функции порядков V и {л соответственно. 184
9. ФУНКЦИИ ЕЕССЕЛЯ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
9.1.57. {«¦' - 2(va + [•?)«¦» + (Vя - цТ> w +
+ 4z!(» + 1) (8- + 2) W = О, W = Sv(Z) Su(Z).
9.1.58. Э(»! - 4va) и> + 4z\S + 1) W = О,
w — Sv(z) Sv(z).
9.1.59. zV" + z(4z2 + 1-4-Je) w" + (4v! - 1) W - 0.
w = zSJz) %(z).
Верхние границы 9.1.60. I Jv(X)I « I (v > 0), I JJx) 1 a; 1/V2
9.1.61. 0 < JvW <
9.1.62. I Jv(Z) I <
9.1.63. I J,i(nz)| «
21/3
(v S 1).
32/3Г(2/3) V1'3 |z/2 |VIm,l
(v > 0).
(v & -1/2).
r(v + 1)
' Zn exp {ил/ 1 — z2 }
{і + -Д^1}»
Производные относительно порядка
9.1.64. — 7v(z) «/v(z) In (z/2)-<?v
( / ) fci r(v + t + l) Jfcl
9.1.65. І Fv(z) - ctg (vtt) /- Zv(z) _ «ад 1 _ 3v I3v )
— cosec (vit) — Z-.j(z) — Tt Jv(Z)
OV
(V * 0, ±1, ±2,...).
;Пі), "!(z/2)-" (z/2)* J1(Z) ' 2 " 2 fa Ся — it) JfcI
2 " 2
[^Jv(Z)I
LSv Jv=O 2
ГІ Fv(z)I = - І J„(z).
Uv Jv = O 2
через гинергеомегрические функции
r(v + I) I 4 J
(z/2)v-" l'(v + 1)
*(v+I. 2v + 1, 2i'zj .
9.1.70. Jv(z) _ W2)V— Iim ffx, ц; V + 1; - -І) ,
I> + 1) I 4XnJ
где JJ со, принимая действительные или комплексные значения; z и v фиксированы; ,,F1 — обобщенная гипергеометрическая функция; о функциях М(а, b, z) и F(а, Ь; с; z) см. в іл. 13 и 15.
Свазь с функциями Лежандра и X фиксированы; v -»¦ оо, принимая действительные положительные значения)
9.1.71. Iimj ViP^cos -Jj= /^(х) (х > 0).
9.1.72. Iimj veo7* |cos -JJ = - тiY^x) (х > 0). Определения Р7№ и Qvik см- в гл. 8.
Разложения в непрерывную дробь о, т. __!__?_ -
JM(z) 2vzj- 2(v+ 1) z-1 - 2(v+2) z-1 -z/2v za/4v(v + 1) za/4(v + 1) (v + 2)
Теорема умножения
9.1.74. Є/Х,) - ^
CIXa-IK 1).
Если Є = 7 и взяты верхние знаки, ограничение на >. не нужпо.
Эта формула дает выражение Й./ге'9) через Теорема сложения І Ісймапа
9.1.75. ev(u ± г) =. 1 Svtj (и) Js(») (|о|<1и|).
Jfc--со
Если S = J и V — целое или нуль, то ограничение не нужно. Частные случаи:
9.1.76. 1 = Jg(z) + 2 ? Jgz).
й = 1
9.1.77. 0=? (-1)« Jii(z)Jan-j(z)+ 2 2 Js(z)Jjntt(z)
Jfc-O Jfc=I
(я & 1).
9.1.78. Jn(Iz) - j; Jt(z) J11-U(Z) +
+ 2 j; (-1)» Jl(Z)Jmt(Z). Jfc=I
Теорема сложения Графа
9.1.79. Sv(W)S VX = 5 EvH-J(U)Jj1Wmfc
(|т屫|< Ul). ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
185
Теорема сложения Гегенбауера 9.1.80. e 2v r(v) р (V + Jfc) :
Л+й(гО
СГЧсоз «) (v Ф Os -1.....I ve** I < і н I).
B 9.1.79 и 9.1.80
w = *Juz -f vs — 2u V cos a,
u — V cos cc =w cos x, V sin a = w sin x,
ветви выбраны так, что w -» и и у_ 0, когда v -» 0. C^vj (cos a) — многочлены Гегенбауера (см. гл. 22).
Если URV —действительные положительные, О ^ a ^ TT, то IV и X — действительные неотрицательные. Геометрическая интерпретация последнего соотношения показана на рисунке.
Ограничение UiCita | < j a | не нужно в 9.1.79, если S = Ja V — целое Hjm нуль, а в 9.1.80 — если <2 = /.
Вырожденная форма (и = со)
9.1.81. eiv С03 a - Г(у) (v/2)-v І (v + к) і* X A=O
X /v+*(») CHcosa) (v Ф 0, -1,...).
Разложение по функциям Бесселя (разложение Неймапа)
9.1.82. f(z) = O0 J0(Z) + 2 J akJk(z) (\z\ < с),
Й=1
где с — расстояние от точки z = 0 до ближайшей особой точки фупкция f(z),
9.1.83. afc = J- ( f(t) Ok(t) dt (0 < с'< с).
2 пі J
Olc(I) — многочлен Неймана, который определяется следующей производящей функцией;
9.1.84. --J = Оо(0 + 2 ^Tj Jk(z) Ok(I)
(М < \t I),
On(t) — многочлен степени п + 1 ОТ Ift, Oo(t) — 1 ft,
1 V^2 П(п- к - 1)! (2\п-2к+1
(я - 1. 2,...).
Более общий вид разложения
9.1.86. /(z) = aoJy(z) + 2 S «**/»+*(*),
A=I
называемый также разложением Неймана, исследуется в работах [9.7] и [9.15]. Примерами разложений Неймана являются формулы 9.1.41 —9.1.48 и теоремы сложения. Другие примеры:
9.1.87. (z/2)v - р 0 + »>Г<» + *) л+и(г)
га к\
(v ,s 0, -1, -2, ...),
».1.88. Г„(г)
п1(г/2)" (г/2)'
* fcrf in-! '-
^0 (п-к)к\ + - (1п(г/2) - ф(» + 1» «г) -
7ї
_ 2 , (я + 2к) /,И8(г) i
.^f к(п -Ь к)
где '|(и) задается формулой 6.3,2.
9.1.89. ВД - - {In (г/2) + у) Л(г) -
. ji V4 (-l)fc
7t fc
9.2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЯХ АРГУМЕНТА
9.2.2. У„(г) = V2/(izj | Sin Jz - I in - ~ TtJ +
Главные члены асимптотических формул (v фиксировано и | г ! -» оо)
/,(г) = V2/(пг) j cos |z - 1 vn - і +
+ еі.««і0(|гГ.)| (I arg ZI < 7t).
+ <
0(1 і
(I arg 11 < it).
9.2.3. Я«>(г) ~ 42Цю)
(—ті < arg z < 2тт).
9.2.4. Щ»(г) ~ 72/(>ї)е-і,"-™,2-",,1
(—2тс < arg г < 186
