Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
sin (v7c)
Правая часть этого уравнения заменяется ее предельным значением, если v — целое или нуль.
9.1.3. i41!(z> = ад + і ад =
— і cosec (vtt) {е~ vmJv(z) — J_v(z) }.
9.1.4. Я*2)(г) = J,(z) - І Yv(z) =
= І cosec (V7l) (J_v(z) — Cv77Vv(Z) }.
9.1.5. J-n(z) = (-1)aJn(z), Y-n(z) - (~1)й Yn(z).
9.1.6. ЛІ]і(г) = е^И^(г), Ht\(z) = e~ miHfi(Z).
Пределы при малых значениях аргумента (v — фиксированное, z —> 0)
9.1.7. Jv(z) л
(iJ7r(v+1) -u -З,...). 2 ,
9.1.8. Ya(z)'--іЩ1\г) ~ іЩ2)(г) ~ 4 In z.
TZ
9.1.9. Y^(Z)--tH[*\z)~tH™(z) ~
-Xtr
Разложения в рад
I 2 J + 1)
9Л.„. вд _ _ ^iirJL
(Re V > 0).
9.1.10. Jv(Z) -
(ziiy (я - fc-_l)! J-J' +
(т)"-
+ — In - Jn(Z) - -
+ 1) + (_г»/4)*
+ ф(л + k + 1)}
к\(п + к)!
где ф(я) определена формулой 6.3.2.
9.1.12. /.(Z) - 1 - JUL + W _ « ___
(H)2 (2!)2 (3!)а ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
181
Ряс, 9.4, Карта горизонталей модуля и фазы функции Ханкеля н?](х + iy) =- M0Cta'. 182 9.
183 9. ФУНКЦИИ ЕЕССЕЛЯ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
1.1.13. ВД = L jl„ j + т| J,(Z) +
Tt I (І!)1 І 2 J (2 !)а
, Л 1 11W_ 1
T+I + Tj (3!)» "I'
9.1.14. Uz) Mz) -
. (z/2)v+. yv_HW- + * + tt+M«L_.
ЙЧ"+*+ 1)Г(ц+* + l)r(v + |«+t+ 1)?!
Вронскианы
9.1.15. W{ J4(Z), J-Jz)) - .Art-I(Z) J-Jz) +
+ JJz) J-(M)(z) = - 2 sin (vir)/(ttz).
9.1.16. W(JJz), rv(z)} =
- -W=O ад - Ш Kvtl(J) - 2/(тгг).
9.1.17. W(IfiXz), BfXz))-
= Я<їі(г) Bf (z) - ^J4(Z)HvtS1(I) - - 4//(ти). Иагегральные представления
9.1.JS. J,(z) - і J cos(z sin в) dB = і ^ cos(z cos в) dB.
о о
Л/2
9.1.19. Y0(Z) = — С cos (z cos в) X тг' J о
X (V + In (2z sin2 Є)} dB.
9.1.20. JJz).
2 т*
ту
ТІ1« r(v + 1/2)
cos (z cos в) sin» Є df) ,
*"»Г(у + 1/2) 9.1.21. JJz) = — j cos (z sin 0 - >10) dB
l3)»-"s cos (zt) dt (Re V > -1/2).
.-( Ei'cos 0 cos (nO) dB.
9.1.22. JJz) = J-J cos (z sin 6 - v0) dB о
во
_ Sin (VTt) ^ (.1S1W
dt (I arg z I < Tt/2),
YJz) = — J sin (г sin в - v6) tf6 -о
_ і J + g-v. cos(VJt)} е-'л, at (|arg zI < ж/2). 0
9.1.23. JJx) - — J sin (* ch () dt (x > 0),
0
YJx) - — — J cos (x ch t) dt (x > 0).
D
«i
2(:t/2)-v Г sin (xt) dt
9.1.24. Jv(X) = -
ад -
¦ Г(1/2
"Л
(<» - 1)W»
(I Re »| < 1/2, x> 0). і
(|Re vi < 1/2, x> 0).
2(x/2)~v Г cos (xt) dt Tt1'3 Г(]/2 — v) J l)»+1'*
9.1.25. H'»(z) _ — V e* «¦"-« dt (I arg z | < n/2).
Я<«>(г) =
¦Л \
Kl J
TZi J
l~ve dt (I arg z| < n/2).
9.1.26. /v0c) = JL С
2nt 3 Г(у + t + 1)
(Re V > 0, X > 0).
В последнем интеграле путь интегрирования должен проходить слева ог точек I= 0, 1,2, ...
Рекуррентные соотношения
9.1.27. Sv-J(Z) + (Svfl(Z) = — Sv(z),
Z
V1(Z) - V1(Z) - гад,
е; (z) =• Sv-J(Z) - - 6v(z), Z
є; (z) = -Vi(z) + -
Z
Є означает J, Y, Я'1', H^ или любую линейную комбинацию этих функций, коэффициенты которой не зависят от z и V.
9.1.28. ф) = -J1(Z), Yq(Z) ----- -Y1(Z).
Если /v(z) = zv Sv(Xztf), где р, q и X не зависят от
V, то ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
183
9.1.29. Zm(Z) + ZvnW - (2»А) z-»/,(z),
(р + vq)fviV) + (P- v?)/v«W = (2vA) г1-"/«*), й!) - >.<гг%-,(2) + (р - V?) Zv(z), zZJW - -xqz'&H(z) + (р + v?)Zv(z).
Производные
9.1.30. ^-JsJzVev(Z)) = г*-« VtU).
(-J j^J Ev(Z)) = (- De г-*-* ViW
(It= О, 1, 2,...).
9.1.31. Sf(Z) =j VtW - (j) Vtt1W +
+ (^j VmW - ... + (-D1 Ewl(Z)J № - 0, 1, 2,...).
Рекуррентные соотношения для произведений функций
Пусть
9.1.32. р„ = /v(u) ОД) - ОД) ОД), ?v = ZvW ОД - ОД) ОД, г, = ОД ОД) - од од, jv = од) од - j; ) од).
Тогда
.... 2v 2v
9.1.33. Pvw-Pv-! =--5V--rv,
a Й
V ¦» + 1
?vtl + = — Pv--— Pvtb
я o
V V+ 1
T-Vl-I + 9v = — Pt--Pt+1.
0 a
1 , 1 v>
s4 — — Pv+1 -T — Pv -I--- pv,
2 2 ab
9.1.34. PvJv — 0vrv =
Ai
Аналитическое продолжение В формулах 9.1.35 — 9.1.38 m — целое. 9.1.35. /„(ze"™*) = e»i"'/v(z). 9.1.3«. ОДе™"1) -
= є"»"« ОД) + 21 sin (mvn) ctg (vjt )/v(z).
9.1.37. sin (vn) Я{і>(ге""') =
= - sin {(m - 1) vx} H<"(z) - e-OT< sin (mvTt) fl{M(z).
9.1.38. sin (vn) fl^tze*»") -
= sin {(m + 1) vn) Я<»(г) + e"< sin (пил) HS?>(z).
9.1.39. ЯІц(гО =
9.1.40. ад = оді", од = іОД,
' ( j - действительное).
А
Производящая функция и связанные с ней ряды
9.1.41. е'Р-'"1'2 = S ItJk(Z) (< * 0).
9.1.42. cos(z sill 0) - Л(г) + 2 /e(z) cos(2fc Є).
9.1.43. sin (r sin 8) = 2 S Ли+iWsin {(2* + 1) Ю-
ft =O
9.1.44. cos (z cos 0) = 7„(z) + 2 2 (- 1)"V»W cos(246).
9.1.45. sin (z cos 0) = 2 І (-1)*Лж+і (z)cos {(2*+1)Є}.
A-O
9.1.46. 1 = Л(г) + 2 «z) + 2J,(z) + 27,(z) + ...
9.1.47. cos z = 7„(z) - 2/a(z) + 2/,(z) - 2/,(z) + ...
9.1.48. sin z - 2J1(Z) - 2AW + 2/,(z) - ...
Другие днфференниальные уравнения v' - 1/4
I, w = Z1Bv(Xz).
9.1.49. iv' + jxa - "' a1/4 j w = 0,
9.1.50. W + I — - " ~ 1I IV = 0, m = z1'8 VXz1").
14z 4:-: - j
9.1.51. I»" + X8Z""* w = 0, W = z" S1IpPXZV1IP). 2v - 1
9.1.52. w" -
- i/ + XiHi = 0, w = z» Sv(Xz).
