Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(1.2.20а) + (Я+ ?)0 = О,
(1.2.20b) vt = Av + Bvx.
Вышеописанная процедура сводится в данном случае к вычислению производной по времени от (1.2.20а), второй производной по координате от (1.2.20Ь) и исключению Vtxx из полученных равенств. Приравнивая нулю коэффициенты при v, vx, получим условия совместности
(1.2.21а) Axx-2Bx(X + q)-Bqx=-qt,
(1.2.2 lb) Bxx+ ZAx = 0,
аналогичные (1.2.8). Разлагая А и В по степеням К (при г — =—1 в (1.2.7а) Я = ?2), получаем нелинейные эволюционные уравнения. Например, представляя А и В в виде
A = A1X +A0, В = BiX+ B0 и приравнивая нулю коэффициенты при степенях %, имеем Bi = &i = const, Ai = oj = const, B0 = — q, A0 = -^qx+а0 (а0 = const);
дополнительное ограничение представляет собой нелинейное эволюционное уравнение. Положив b\ = 4, а\ = 0 = а0, получим уравнение КдФ
(1.2.22) qt + 6qqx + qxxx = V,
причем временная зависимость собственной функции имеет вид
(1.2.23) vt = qxv + (4X-2q)vx.
Найдя Kv из (1.2.20а), мы можем переписать (1.2.23) в другой форме:
(1.2.24а) vt + 4vxxx + 6qvx + 3qxv = 0, или
(1.2.24b) vt + vxxx + 3(q-X)vx = 0.
Такая форма зависимости собственных функций от времени является типичной в подходе Лакса [318]. 26
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Другие нелинейные эволюционные уравнения получаются из разложений, отличных от вышеописанных Эта процедура приводит к тем же результатам, что и подход Лакса (1.2.4), и является чисто алгебраической по своей природе.
Интересное видоизменение этого подхода недавно предложили Kayn и Ныоэлл [266] и Вадати, Коно, Итикава [493]. Если мы заменим (1.2.7) на
(1.2.25а) Z
Vix = IiV2 +
vu = Avl + Bv2, (1.2.25b) _ ,
V2t = CVl- Av2,
тогда вместо условия совместности (1.2.8) нужно потребовать, чтобы выполнялись равенства
Ax=UqC-гВ),
(1.2.26) Bx + 2%B = Z(qt-2qA), Cx-2il? = l{rt + 2rA).
Как и раньше, конечные разложения А, В, С по степеням ? приводят к множеству нелинейных эволюционных уравнений, связанных с (1.2.25). В качестве примера, взяв г =—1, q = и — 1,
A = — i4u~ll%3 - U-3l2Ux?,
В = 4и-"2 (и - 1) C3 + 2ш-з%^2 - (U-312UxU,
C = — 4и~ '/?3,
мы получим уравнение Дима (Краскал [298])
(1.2.27) Ut = 2 (и-"*),,,.
1.3. Вывод линейного интегрального уравнения и обратная задача рассеяния на бесконечном интервале. В этом разделе мы изучим прямую и обратную задачу рассеяния для системы (1.2.7а). Мы попытаемся проиллюстрировать основные идеи, по возможности избегая засилья точных математических формулировок и теорем. В самом деле, даже в классическом случае задачи рассеяния для оператора Шрёдингера строгая теория весьма громоздка (см., например, [33, 152, 398, 136]), а для задачи рассеяния (1.2.7) возникают новые трудности.
Прежде всего мы предположим, что q и г достаточно быстро стремятся к нулю при |л:|->оо. Отметим, что это предложение очень важно, поскольку теория рассеяния с другими граничными условиями приводит к совершенно другим результатам. Быстрое 1.3. Вывод линейного интегрального уравнения
27
убывание позволяет определить собственные функции ф, ф, -ф, г|з со следующими граничными условиями при ? = ? (С = І + Щ — собственное значение):
(1.3.1)
ф-ф.
-Ф
(J)e*\
при х-> —
> при X + оо.
(Отметим, что ф не является комплексным сопряжением ф; мы будем пользоваться обозначением ф* для комплексного сопряжения.) Это решение определено в фиксированный момент времени (скажем, при /=0), и вся развиваемая в этом разделе теория рассеяния (прямая и обратная) относится к этому фиксированному моменту времени. В следующем разделе мы покажем, как получить зависящие от времени волновые функции, удовлетворяющие одновременно уравнениям (1.2.7а, Ь), из этих не зависящих от времени функций. Далее в этом разделе мы будем опускать временную зависимость в обозначениях. Теперь, если и(х, ?) (и(х, I) —это 2 X 1 вектор-столбец с компонентами tii(x, |), і = 1, 2) и v(x, 5) являются решениями (1.2.7а), мы имеем
(1.3.2а)
i?W(u, ,) = 0,
где W (и, v) — вронскиан и и v: (1.3.2b) W(UyV)=UlV2-V1U2.
Из (1.3.1) мы видим, что №(ф, ф)=— 1 и W(i|),\j)) = 1. Решения i|), ifi являются линейно независимыми; таким образом, мы можем написать
(1.3.3а) Ф = а(1)Ч> + й(ЮФ,
(1.3.3b) Ф = +
(Знак минус здесь выбран для удобства.) Мы также отметим, что матрица рассеяния определяется обычно следующим образом:
(1.3.3с)
-a)' 28
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Используя U .3.3) и W(cp, ф) = — 1, мы получим
(1.3.4) a(l)a (I) + ft (І) b (1)=1.
Далее мы установим аналитические свойства данных рассеяния (как функций комплексной переменной ?). Если q, г <= Lx (т. е. являются абсолютно интегрируемыми), то функции е'^ф, являются аналитическими в верхней полуплоскости (г) > 0), а e'&ty — аналитическими в нижней полуплоскости (г} ¦< 0).
Это немедленно приводит к тому, что функция а = ЦГ7(ф,\|з) = = фі^2 — ф2^і является аналитической в верхней полуплоскости, а й=1Г(ф, -ф) — в нижней полуплоскости. Функции o == — W (ф,¦ф), b = W (ф, 1|)), вообще говоря, не обладают аналитическими свойствами. Для установления свойств аналитичности задачу рассеяния обычно сводят к интегральному уравнению. Например,
