Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(1-2.2) qt + &q2qx + qxxx = 0,
а Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сигур (1973) [10] проделали то же самое для уравнения sin-Гордон
(1.2.3) U^ = SinM.
Уже эти результаты показали мощность и многосторонность МОЗР для решения некоторых нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, интересных с точки зрения физических приложений.
Затем Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сигур [11, 12] предложили схему, которая по подходящей заданной задаче рассеяния позволяла найти нелинейные эволюционные уравнения, решаемые МОЗР. Например, можно показать, что уравнения КдФ, мКдФ,20
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
sin-Гордон и нелинейное уравнение Шрёдингера связаны с одной общей задачей рассеяния.
Мы начнем с краткого рассмотрения идей, лежащих в основе работы Лакса [318]. Рассмотрим два оператора L, М, причем для оператора L поставлена спектральная задача, а оператор M определяет эволюцию собственной функции по времени:
(1.2.4а) Lv = Kv,
(1.2.4b) vt =Mv.-
С уравнением КдФ связана задача рассеяния для уравнения Шрёдингера (1.1.11). Таким образом, в этом случае L = dl + + и (х, t).
Вычисляя производную по времени от (1.2.4а) и предполагая Kt = 0, мы получим LtvLvt = Kvt. Подстановка (1.2.4Ь) дает условие, которое необходимо для совместности (1.2.4а,Ь):
(1.2,4с) Lt+ [L, M] = 0,
где [L, М~\ = LM — ML (коммутатор LhM). Уравнение (1.2.4с) содержит нелинейное эволюционное уравнение, если L и M правильно выбраны. Лаке [318] указал, как по заданному L построить такой оператор M, чтобы уравнение (1.2,4с) оыл'о нетривиальным.
С этим методом связаны следующие трудности: во-первых, нужно «угадать» подходящий оператор L и затем найти такой оператор М, чтобы удовлетворить (1.2.4). Во-вторых, часто очень неудобно работать с дифференциальными операторами (например, в случае уравнения sin-Гордон (1.2.3)). Другую схему, которую предложили Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сигур [12], можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим два линейных уравнения:
(1.2.5а) Vx = Xv,
(1.2.5b) Vt = Tv,
где V есть n-мерный вектор, а X, T являются п X «-матрицами. Применим к (1.2.5) перекрестное дифференцирование (т. е. d/dt к (1.2.5а) и д/дх к (1.2.5Ь)) и приравняем правые части. Это дает
(1-2.6) Xt-Tx + [X,T} = 0,
что эквивалентно (1.2.4с). Оказывается, что для заданного X имеется простая дедуктивная процедура для нахождения Г, причем такая, что (1.2.6) превращается в нелинейное эволюционное уравнение. Для того чтобы уравнение (1.2.6) было нетривиальным, оператор X должен зависеть от некого параметра t,, играющего роль собственного значения, причем = 0. Более того,1.2. Задача рассеяния для оператора второго порядка
21
полное решение ассоциированного нелинейного эволюционного уравнения на бесконечном интервале можно найти лишь в том случае, когда соответствующая задача рассеяния может быть эффективно решена аналитически. (Хотя в настоящее время известно немало нелинейных эволюционных уравнений, удовлетворяющих (1.2.6), но теория прямой и обратной задачи рассеяния для многих операторов (1.2.5а) пока что недостаточно развита.)
В качестве примера рассмотрим задачу на собственные значения, представляющую собой модификацию задачи рассеяния Захарова — Шабата [544]:
„ „ ч Vix = - 1 + Яи2>
(1.2.7а „ ,
V2x = Itp2^rvl,
а наиболее общая временная зависимость, содержащая первые производные по t, имеет вид
vH = Avi + Bv о,
(1.2.7b) г In
v2i = Cvl + Dv2,
где А, В, С, D — скалярные функции, не зависящие от v. Соотношения (1.2.7а, Ь) играют ту же роль, что и (1.2.5а, Ь), при этом XuT даются правыми частями (1.2.7а, Ь) соответственно. Отметим, что если бы в правой части (1.2.7) были производные по х, то их можно было бы исключить, воспользовавшись (1.2.7а). Кроме того, когда г = —1, (1.2.7а) можно привести к шрёдингеровой задаче рассеяния
Vsxx + (S2 + <7)0 2 = 0
(в этом случае играет роль параметра к в (1.2.4а)).
Интересно отметить, что в случае г = —1 или г = ±'q* (или г = ±q, если q вен^ественно) из указанного формализма вытекают нелинейные эволюционные уравнения, важные для физических приложений. Кроме того, для г = —1, т. е. когда мы имеем уравнение Шрёдингера, вопрос об обратной задаче рассеяния был рассмотрен многими авторами. Обзор работ, касающихся задачи рассеяния на бесконечной прямой, можно найти в работах Фаддеева [152] или недавней работе Дейфта и Трубовица [136]. Систему (1.2.7а) иногда называют системой дифференциальных уравнений Дирака (отметим, что обратная задача рассеяния для некоторого специального случая системы (1.2.7а) была рассмотрена Гасымовым и Левитаном (1966) [179]).
Далее в этом разделе мы опишем простой алгоритм, позволяющий находить нелинейные эволюционные уравнения вида (1.2.6) для описанных систем. В последующих разделах мы рассмотрим вывод уравнений прямой и обратной задачи рассеяния, а также системы более высокого порядка.22
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Совместность (1.2.7а) и (1.2.7Ь) означает, что должны выполняться некоторые условия на А, D. Требуя (viX)t = = (Vit)X (т. е. равенства смешанных производных (1.2.7а) и (1.2.7Ь)) и предполагая независимость собственных значений от времени (dZ/dt = 0), мы без труда обнаружим, что функции A, .. . , D удовлетворяют следующим уравнениям: