Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 7

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 164 >> Следующая


(1-2.2) qt + &q2qx + qxxx = 0,

а Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сигур (1973) [10] проделали то же самое для уравнения sin-Гордон

(1.2.3) U^ = SinM.

Уже эти результаты показали мощность и многосторонность МОЗР для решения некоторых нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, интересных с точки зрения физических приложений.

Затем Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сигур [11, 12] предложили схему, которая по подходящей заданной задаче рассеяния позволяла найти нелинейные эволюционные уравнения, решаемые МОЗР. Например, можно показать, что уравнения КдФ, мКдФ, 20

1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале

sin-Гордон и нелинейное уравнение Шрёдингера связаны с одной общей задачей рассеяния.

Мы начнем с краткого рассмотрения идей, лежащих в основе работы Лакса [318]. Рассмотрим два оператора L, М, причем для оператора L поставлена спектральная задача, а оператор M определяет эволюцию собственной функции по времени:

(1.2.4а) Lv = Kv,

(1.2.4b) vt =Mv.-

С уравнением КдФ связана задача рассеяния для уравнения Шрёдингера (1.1.11). Таким образом, в этом случае L = dl + + и (х, t).

Вычисляя производную по времени от (1.2.4а) и предполагая Kt = 0, мы получим LtvLvt = Kvt. Подстановка (1.2.4Ь) дает условие, которое необходимо для совместности (1.2.4а,Ь):

(1.2,4с) Lt+ [L, M] = 0,

где [L, М~\ = LM — ML (коммутатор LhM). Уравнение (1.2.4с) содержит нелинейное эволюционное уравнение, если L и M правильно выбраны. Лаке [318] указал, как по заданному L построить такой оператор M, чтобы уравнение (1.2,4с) оыл'о нетривиальным.

С этим методом связаны следующие трудности: во-первых, нужно «угадать» подходящий оператор L и затем найти такой оператор М, чтобы удовлетворить (1.2.4). Во-вторых, часто очень неудобно работать с дифференциальными операторами (например, в случае уравнения sin-Гордон (1.2.3)). Другую схему, которую предложили Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сигур [12], можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим два линейных уравнения:

(1.2.5а) Vx = Xv,

(1.2.5b) Vt = Tv,

где V есть n-мерный вектор, а X, T являются п X «-матрицами. Применим к (1.2.5) перекрестное дифференцирование (т. е. d/dt к (1.2.5а) и д/дх к (1.2.5Ь)) и приравняем правые части. Это дает

(1-2.6) Xt-Tx + [X,T} = 0,

что эквивалентно (1.2.4с). Оказывается, что для заданного X имеется простая дедуктивная процедура для нахождения Г, причем такая, что (1.2.6) превращается в нелинейное эволюционное уравнение. Для того чтобы уравнение (1.2.6) было нетривиальным, оператор X должен зависеть от некого параметра t,, играющего роль собственного значения, причем = 0. Более того, 1.2. Задача рассеяния для оператора второго порядка

21

полное решение ассоциированного нелинейного эволюционного уравнения на бесконечном интервале можно найти лишь в том случае, когда соответствующая задача рассеяния может быть эффективно решена аналитически. (Хотя в настоящее время известно немало нелинейных эволюционных уравнений, удовлетворяющих (1.2.6), но теория прямой и обратной задачи рассеяния для многих операторов (1.2.5а) пока что недостаточно развита.)

В качестве примера рассмотрим задачу на собственные значения, представляющую собой модификацию задачи рассеяния Захарова — Шабата [544]:

„ „ ч Vix = - 1 + Яи2>

(1.2.7а „ ,

V2x = Itp2^rvl,

а наиболее общая временная зависимость, содержащая первые производные по t, имеет вид

vH = Avi + Bv о,

(1.2.7b) г In

v2i = Cvl + Dv2,

где А, В, С, D — скалярные функции, не зависящие от v. Соотношения (1.2.7а, Ь) играют ту же роль, что и (1.2.5а, Ь), при этом XuT даются правыми частями (1.2.7а, Ь) соответственно. Отметим, что если бы в правой части (1.2.7) были производные по х, то их можно было бы исключить, воспользовавшись (1.2.7а). Кроме того, когда г = —1, (1.2.7а) можно привести к шрёдингеровой задаче рассеяния

Vsxx + (S2 + <7)0 2 = 0

(в этом случае играет роль параметра к в (1.2.4а)).

Интересно отметить, что в случае г = —1 или г = ±'q* (или г = ±q, если q вен^ественно) из указанного формализма вытекают нелинейные эволюционные уравнения, важные для физических приложений. Кроме того, для г = —1, т. е. когда мы имеем уравнение Шрёдингера, вопрос об обратной задаче рассеяния был рассмотрен многими авторами. Обзор работ, касающихся задачи рассеяния на бесконечной прямой, можно найти в работах Фаддеева [152] или недавней работе Дейфта и Трубовица [136]. Систему (1.2.7а) иногда называют системой дифференциальных уравнений Дирака (отметим, что обратная задача рассеяния для некоторого специального случая системы (1.2.7а) была рассмотрена Гасымовым и Левитаном (1966) [179]).

Далее в этом разделе мы опишем простой алгоритм, позволяющий находить нелинейные эволюционные уравнения вида (1.2.6) для описанных систем. В последующих разделах мы рассмотрим вывод уравнений прямой и обратной задачи рассеяния, а также системы более высокого порядка. 22

1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале

Совместность (1.2.7а) и (1.2.7Ь) означает, что должны выполняться некоторые условия на А, D. Требуя (viX)t = = (Vit)X (т. е. равенства смешанных производных (1.2.7а) и (1.2.7Ь)) и предполагая независимость собственных значений от времени (dZ/dt = 0), мы без труда обнаружим, что функции A, .. . , D удовлетворяют следующим уравнениям:
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 164 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed