Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Изучая эти законы сохранения и законы сохранения, связанные с еще одним совершенно новым эволюционным уравнением (его обычно называют модифицированным уравнением Корте- 1.1. Введение 18
вега — де Фриза, или мКдФ),
(1.1.7) M(V) = Vt- Qv2Vx+ Vxxx = О,
Миура (1968) [379] обнаружил следующее преобразование. Если V — решение (1.1.7), то
.(1.1.8) и =-(V2+ vx)
является решением (1.1.5). Точнее, (1.1.9) K(u) = -{2v+^)M(v).
Преобразование однозначно лишь в одну сторону, поскольку в правой части (1.1.9) имеется оператор дифференцирования.
Именно преобразование (1.1.9) привело к другим важным результатам для уравнения КдФ. Первоначально это преобразование было основой для доказательства наличия бесконечной серии законов сохранения для КдФ (Миура, Гарднер и Краскал (1968) [383]). Основная идея была следующая. Поскольку уравнение КдФ является инвариантным относительно преобразований Галилея, в частности вида
X = X ^2- tf t === t> (1.1.10а) j
и(х, t) = u'(x', t') —-gr,
то, полагая
(1.1.10b) v(x, t) = -zw(x', f)+-,
преобразуем уравнение мКдФ к виду (1.1.1 Ос) Wf + -^r (3W2 + Зб2ш3 + Wx>X') = 0.
OO
Ясно, что ^ w dxr является сохраняющейся величиной для
-OO
(1.1.10с). Преобразование Миуры (1.1.8), (1.1.10а, Ь) дает (1.1.IOd) и' = 2w + zwx' - e2w2.
Считая є -С 1, мы можем рекуррентным образом разрешить (1.1.IOd) относительно w, т. е.
(1.1.10е) W = W0 + EIiy1 + Z2W2 + ... =--Ux, +
Таким образом, (1.1.10е) позволяет найти бесконечный набор законов сохранения. Ниже в разд. 1.6 мы дадим другое 18
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
доказательство того факта, что КдФ, мКдФ и др. обладают бесконечным набором сохраняющихся' величин- (или плотностей). Более того, будет показано, что законы' сохранения с-четными номерами являются нетривиальными (т. е. T не является полной производной под:).
Однако самым важным результатом усилий по изучению уравнения КдФ было открытие нового метода математической физики — метода обратной задачи рассеяния (МОЗР). Он также появился благодаря преобразованию (1.1.8). Заметим, что (1.1.8) можно рассматривать как уравнение Рикатти относительно V, хорошо известное преобразование v = Wx/W линеаризует (1.1.8), давая
Wxx + uW = 0.
Так как уравнение КдФ является галилеевски инвариантным, то для большей общности Миура, Гарднер и Краскал (1968) [383] рассмотрели уравнение
(1.1.11) I1Tjtje +(*, + „)? = ().
Оказалось, что это уравнение дает неявную линеаризацию уравнения КдФ. Уравнение (1.1.11) само весьма немаловажно, поскольку является по существу стационарным уравнением Шрёдингера.
Гарднер, Грин, Краскал и Миура (1967) [172], (1974) [173] первыми открыли метод решения КдФ, использующий (1.1.11). Хотя мы отклонимся от их первоначальной процедуры, в идейном плане изложение будет, конечно, сходным. Мы постулируем, что с уравнением (1.1.11) ассоциировано некоторое эволюционное уравнение
(1.1.12) Wt = AW+ BWx,
где А, В — скалярные функции, не зависящие от xF (отметим, что это наиболее общий вид линейного уравнения первого порядка по времени). Если и подчиняется уравнению КдФ (1.1.5) и если мы выбираем
(1.1.13) А = их, B = AX — 2и,
то легко показать, что собственные значения в (1.1.11) не зависят от времени, т. е. Xt — 0. Читатель может проверить, налагая условие совместности Wtxx = Wxxt, что
(1.1.14) [K(u) + Xt]W = 0.
Теперь если К{и) = 0, то Xt = 0. В разд. 1.2 мы дадим дедуктивную процедуру нахождения А, В. Мы покажем, что существует бесконечно много уравнений, связанных таким же образом с (1.1.11), но с другими А, В. 1.2. Задача рассеяния для оператора второго порядка
19
В последующих разделах мы обсудим, как результаты (1.1.11) — (1.1.14) можно использовать при восстановлении потенциала и (х, t) по заданному и(х, t = 0). Применяемый для этого метод довольно сложен и подходит для многих физически интересных эволюционных уравнений. Полученные результаты приложимы к разным физическим задачам, как будет показано в гл. 4. Применяемые математические методы также весьма разнообразны; они относятся и к классическому анализу, и к дифференциальной геометрии, и к алгебре, и алгебраической геометрии (см. также гл. 3).
1.2. Задача рассеяния для оператора второго порядка и связанные с ней интегрируемые уравнения в частных производных.
Метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), как отмечалось в разд. 1.1, был развит Гарднером, Грином, Краскалом и Миурой [172, 173] применительно к уравнению Кортевега — де Фриза (КдФ) и его аналогам более высокого порядка. В то время и даже несколько позднее не было ясно, применим ли этот метод к другим важным в физических приложениях нелинейным эволюционным уравнениям. Захаров и Шабат (1971) [544] показали, что применимость МОЗР к уравнению КдФ не была случайной удачей. Используя прием, впервые предложенный Лаксом (1968) [318], они показали, что нелинейное уравнение Шрёдингера
(1.2.1) iqt = qxx-\-%qlq\ % > 0,
связано с задачей рассеяния для некоторого линейного оператора. Используя идею прямой и обратной задачи рассеяния, они смогли решить уравнение (1.2.1) для заданных начальных данных q(x, 0), достаточно быстро убывающих при \х\ ->- оо. Вскоре Вадати (1972) [492], используя эти идеи, предложил метод решения модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза (мКдФ)
