Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
2.2. а. Вывод эволюционных уравнений. Рассмотрим задачу рассеяния для оператора Шрёдингера
(2.2.3) tyxx + (лс + <7) ф = О
(%с обозначает собственное значение непрерывного спектра — см. [97, 93]). Дискретизацией уравнения (2.2.3) является
(2.2.4) + + ^ + *»> =
где г|з„ = ty(nh) и т. д. Воспользовавшись подстановкой Vn = = gntyn, где gn = exp {h2qn/2), мы получим
(2.2.5) ехр(--у-(?„+!+ qn)) vn+l +
+ exp 4- (<?а+ ?n-0) vn-X = Kvn,
при этом мы воспользовались тем, что exp(h2qn) ~ I + h2qn и Х = е~н'%с. Определив а„ = ехр((— h2/2)(qn+l + qn)), получим
(2.2.6)
CinVn+1 + йп-іОп-1 = lKvn. 2.2. Дискретные задачи 137
Флашка [155] использовал обобщение
(2.2.7) anvn+1 -f an-ivn-i + bnvn = Ivn.
Чтобы вывести уравнения цепочки Тоды из (2.2.7), мы будем следовать работе Абловица и Ладика [17]. Рассмотрим уравнение эволюции по времени
(2.2.8) Onit = AnV „+, + BnVa.
Вычислив производную по времени от (2.2.7) и воспользовавшись (2.2.7) для исключения vn+2 и vn-i (т. е. vn+2o-n+i = лу„+і — — bn+lVn+l — CtnVn), мы получим два уравнения, приравняв нулю коэффициенты При Vn+1 И Vn (предполагается, что dX/dt = 0):
(2.2.9а) Ап(Ьп-Ь) + -р—(Х-Ьп+і)Аа+1 +
ап-\ tan
+ ап (Bn+1 — Bn-1) = —--ап, и
га—1
а2 А
(2.2.9b)--±J!±L-+Bn(ba-K) + (K-ba)Bn-i +
an+l
+ ttn-lAn-l =----0„,t.
an-1
Представив An и Bn в виде (для примера) (2210) An = Ai? [t) +KAi? {t),
Bn = вУ(() +івУу),
и потребовав зануления коэффициентов
при К2, Я, получим выражения для An, Bn и два связанных эволюционных уравнения (например, коэффициент при Я2 в (2.2.9а) дает — Ля' + + anA\l+\lап+\ = 0, Л« = const), так что Ain = OnAiJ0K Аналогично (2.2.9Ь) дает - ?(„° + BinIі = 0 =>- B^ = ?S = const и т. д. После элементарных алгебраических вычислений мы найдем (Л», Вы, і = 0, 1, являются константами)
(2 2 11) ^n == А^°°йпЬп,
Bn = BiSl+ BiS+ AiX(I-Cil) + E dt\nak-u
k— — oo
и эволюционные уравнения
Ctn, t = -j ЛІ Ctn {bn+1 — Ьп) + -J AiSctn X
X (ял+1 — а«-1 + b2n+1 — , (2'2' 12> ^, = А<2 (al - ?n_i)-f-Л« [а* (&„+&„-,)]. 138 2. МОЗР в других постановках
Цепочка Тоды возникает, если положить ЛІІ' = О, = 2, ап, t = an(bn+l — Ьп),
Эти уравнения связаны с (2.2.1) следующим образом:
a = JLe- (Q«-Q«-i)/2
ип — Oe »
(2.2.14) i
bn =--2~ Qn-1, <•
Другую интересную цепочку уравнений можно получить, положив в (2.2.12) Л<о» = 0, Ьп = О, Л<^=1:
(2.2.15) ^ = Tfl-K+.-flSUi):
выбирая ап = е~"п12, мы найдем
(2.2.16) un,t = е~ип~1-е~и^
(Манаков [347], Кац, Ван Мёрбеке [249]). Теперь мы покажем, что оба уравнения, т. е. (2.2.16) и цепочку Тоды (2.2.1), можно связать с уравнением КдФ, переходя определенным образом к непрерывному пределу. В наиболее простом случае уравнения
(2.2.16) положим H-*- 0 и Un = HiHn. Тогда непрерывный предел дает
A3
(2.2.17) щ ~ 2hux + — Uxxx — 2h3uux. Если определить
X = x + 2ht, T = -J-U
то й ~ й(Х, Т) подчиняется уравнению КдФ
"г ~ йххх — Ьййх. В случае цепочки Тоды, положив Qn = hQn, % = ht, получим
(2.2.18) Qtt = Qxx + h2 (Qxxxx - QxQxx) + ... ,
и (2.2.18) для w = Qx сводится к уравнению Буссинеска: Щх = + h2 (wxxxx - дх а-2)) 2.2. Дискретные задачи 139
(см. разд. 2.1). Уравнение КдФ получится, если искать волны, распространяющиеся в одном направлении, т. е. определить
Q~w(X, T),
Х = х-х, T =, u = Qx.
Тогда получим
(2.2.19) —ит = иххх — иих.
Перед тем как перейти к обратной задаче рассеяния для разностных операторов, мы рассмотрим дискретизацию задачи рассеяния для оператора Захарова — Шабата. Для начала попросту дискретизируем (1.2.7а), положив
, ч °i, П+l — Vi, п.
(Vl)x =-1-.
Таким образом, (1.2.7а) дает
<2 2 20) vUn+l = vUn(l—it,h) + qnhv2,n,
V2, „+1 = t>2, „ (1 + itfl) + г Jivl, „,
где V[,n = Vi(hn), qn = q(hn), rn = r(hn). Если qn и rn были равны нулю, то естественно было бы определить z = e~i^h; при этом непрерывное решение естественно переходит в дискретное: у{ — е~^х = е~^пН = гп и аналогично V2 = z~n. Поэтому здесь мы возьмем Z = е~^н ~ 1 — іф, 1/2 = e^ft — 1 + itfi, и если определим Qn = qnh, Rn = г Ji, то получим
(2 2 21) V1 n+l =zvUn +QnV2, п.
»2, л+1 = ~ Vl, п + RnVl, п •
Имеется важное обобщение (2.2.21):
Vu "+1 = ZVu " ^2' " SnV2' п+ь
»2. n+l = — V2,n+ RnV 1, п + TnVI, n+i.
(Отметим, что непрерывный предел (2.2.22) также сводится к (1.2.7а).)
Вначале мы обсудим нелинейные дифференциально-разностные уравнения. Связанную с (2.2.21) или (2.2.22) эволюцию по времени мы представим в виде д
dt
vi, п = AnVl п + BnV2,
Пі
(2.2.23)
-QfV%n = CnVi, п + DnV2, П' 140
2. МОЗР в других постановках
Аналог уравнений (2.2,9) получится, если предположить dz/dt== = 0 и
(2.2.24) (Eot,п) = Е~ (vi, „), і= 1,2,
где ? — оператор сдвига „ = о/, п+ь Далее для упрощения изложения мы рассмотрим случай Tn = Sn = 0. При этом получим
-JL (?i>i, „) = 2 -L- Ui, „ + Q„, /о2, „ + Qn 02, п =
— z (Anv 1, п + BnV2, п) + Qn, tv% ' + Q п V^tiv 1, га га/
И
? (-JL Oi, „) = An+lvu n+i + Bn+1? n+i == = Л„+1 (го 1, га + QraD2, га) + ?ra+1 (^
