Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(2.1.55) Nij, х = UijNij, х + ?t/. vNti, у + Z (aik - aki) NikNkl,
кфі.і
где
biCj — Cibi
^ij = Ci — bflij = —b._b- (групповая скорость в направле-
1 1 нии у),
aH = ь - — I- (групповая скорость в направлении х). Редукция Nij = OijNtji совместна с уравнениями, если
Oij = — OikOki, i>k> j,
и atj, bij вещественны. Трехволновое взаимодействие получится, если п = 3, N12==U1, N13 = U2, N23 = U3:
uU = ai2Ulx + Pl2Viy + 0fS2 К - «23) ВД.
(2.1.56) U2i = Ul3U2x + foaU2y + (а12 - а23) U1U3, ljU = а23^3х + PA + ff2l К - а2з) uP2-
Если O32 > 0 и O21 > 0, то мы имеем взрывную неустойчивость; иначе неустойчивость будет распадной и будет существовать положительно определенный интеграл энергии.
Таким образом можно вывести много других уравнений. Например, если мы выберем временную зависимость (2.1.49) в виде
(2.1.57) V, = QV + C1Vy + C8Vw 134 2. МОЗР в других постановках
с диагональными матрицами В, Ci, C2, мы получим
N--
(2.1.58) где
( 0 А\
=L*.о)- ^ii'
At = DlA+WA, D0W==OiDlHA?),
А = (&| 1 Ьг)2 [(* - е2) dl+ 2 (bie2 - еф2) дх ду +
+ (еф\-Ь\е2)д2у\, D0=-д\+ 0, + Ь2) дхду - byb?l-
Взяв
Ъ, = -Ь2, Єі = -е2=-2і, W = - I Л I2 - 2/Q'
получим "
/л, = + л,Л + 2дл - 1 л I2 л,
(2 Л .59) ' 2 , „ '
Qxx-b\Qyy = -2oi{\A \2)уу,
или, произведя замену Q = {2ol/bf) \ А |2 + Ф*, (2.1.60)
iAt = -L Axx + Луу + -?-! Л I2 Л + 2ФХА,
К
Фхх-Ь\Фуу = -^-{\А?)х.
bI
Для вещественных bі эта система уравнений является длинноволновым пределом (kh-> 0) уравнения (4.3.27) (см. разд. 4.3), которое описывает эволюцию почти монохроматических слабо-неодномерных волновых пакетов малой амплитуды на поверхности воды. (Случай произвольной глубины неинтегрируем при помощи МОЗР [28].) Анкер и Фримен [42] рассмотрели с помощью схемы Захарова — Шабата случай чисто мнимого Ь\ и построили yV-солитонное решение, представляющее собой плоские волны, распространяющиеся под углом друг к другу. Сат-сума и Абловиц [447] показали, как можно вычислить решение типа многомерного локализованного солитона, быстро стремящегося к одной и той же константе во всех направлениях, для этого уравнения (см. разд. 3.4).
Для уравнения Кадомцева — Петвиашвили (это уравнение возникает в теории длинных длабонелинейных волн на поверхно-
') Система (2.1.59) в отечественной литературе обычно называется системой ДэЗД — Стгоартсо^а — Прим. рей. 2.2. Дискретные задачи
135
сти жидкости, распространяющихся вдоль оси х, причем изменение по у является достаточно медленным)
(2.1.61) дх (Ui+ 6 (UUx) + Uxxx) =-WUyr
L, Л-пару впервые получили Захаров и Шабат (1974) [546] и Дрюма (1974) [141]. Они обнаружили, что уравнение (2.1.61) связано с задачей рассеяния
(2.1.62) vxx + (X + и) о + bvy = 0.
Этот результат можно получить при помощи вышеописанной схемы, взяв
-ц а- мі -її
и произведя соответствующие вычисления. Обратная задача рассеяния для (2.1.62) рассматривалась Захаровым и Манаковым (1979) [537]. Следует подчеркнуть, что приведенная здесь спектральная задача отличается от обычного многомерного уравнения Шрёдингера V2V -j- (X + u)v = 0, для которого обратная задача рассеяния очень трудна (см., например, Ньютон (1979) [399]).
2.2. Дискретные задачи. Много интересных физических явлений можно моделировать дискретными нелинейными уравнениями. Примерами являются колебание частиц в одномерных цепочках (Тода [486]), электрические линии на дискретных элементах (Хирота и Судзуки [229, 230], Хирота и Сатсума [226, 227]), коллапс лэнгмюровских волн в физике плазмы (Захаров [526]), разностная аппроксимация дифференциальных уравнений и т.д. Поэтому не вызывает сомнения важность того факта, что МОЗР применим к некоторым типам дискретных эволюционных уравнений.
В этой главе мы начнем изложение с так называемой цепочки Тоды, представляющей собой систему единичных масс, связанных нелинейными пружинками, возвращающая сила которых экспоненциально зависит от растяжения (эту цепочку иногда называют экспоненциальной цепочкой). Уравнения движения
(2.2.1) Qn, it = е" - е~ могут быть выведены из гамильтониана
OO
(2.2.2) H = ? {І P]+(e-(Q"-Q"-0-l)],
/—» 136
2. МОЗР в других постановках
где Pj = Qjt (напомним, что уравнения Гамильтона имеют вид Pjt = - dHJdQj, Qjt = dH/dPj).
Эта цепочка систематически изучалась в работах Тоды (см., например, Тода [484, 486]); им был построен ряд точных решений как для периодической, так и для бесконечной цепочки. Флашка [155, 156], воспользовавшись теорией обратной задачи рассеяния для разностного оператора Шрёдингера, развитой Кейсом и Кацем [97] и Кэйсом [93], проинтегрировал уравнения (2.2.1) методом обратной задачи. Аналогичные результаты были получены также Манаковым [347]. Вскоре после этого Абловиц и Ладик [17, 18] предложили новую дискретную задачу рассеяния. Эта задача рассеяния является дискретным вариантом 2X2 задачи Захарова — Шабата и служит основой для построения интегрируемых дискретных уравнений (в частности, цепочки Тоды, нелинейной автодуальной решетки (Хирота [214]) и т.д.). Кроме того, эти идеи можно распространить на случай конечно-разностных уравнений (Абловиц, Ладик [17, 18]). В этом разделе мы обсудим задачу рассеяния для разностного оператора Шрёдингера и ее связь с цепочкой Тоды. При этом мы будем следовать работе Флашки [156]. Затем мы продолжим обсуждение эволюционных уравнений, связанных с разностной задачей 2X2 Захарова — Шабата. В конце раздела мы покажем, как решить обратную задачу.
