Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
P12
При этом интегральное уравнение (2.1.30) имеет вырожденное ядро, и его решение приводит к ')
Ql = V?A ^r еЪ [в* (X1-CJ-X3) _
-ViV2 1,
fei fe3 J
Q2 =--4тЫзРч>У»Уз_е_ІЬ (X-C3I-X3) g-цAX-CJ-Xi)
Q3 = VpHfe YiY2 (x-c,«-*,) _
fei — fe3
') Это решение было впервые получено в работе Захарова и Манакова (1973) [1*]. — Прим. ред.128
2. МОЗР в других постановках
где
(2.1.41) 0 = [eTbU-c,f-*3> — УіЇ2е_т1і(л:~Сз'-'Хз)]Х X [Є4а(*-Сі<-*,) _ у2'узЄ-ть(*-с,<~*і)] +
+ Y1Y3
g-T), (x-C3t-x3) g-^ix-Cxt-x,)^
При /-> оо волновые пакеты Q3 и Qi движутся по своим характеристикам X — C3/ и X — Ci/ (Q3 слева от Qt)- При увеличении t пакеты встречаются и порождают волну Q2- При / -»-оо волна Q2 распадается и затухает, a Qi и Q3 опять движутся по своим характеристикам (Q3 справа от Qi). Амплитуды волны Qi, Q3 в этом процессе не меняются. Решение является несингулярным, если одна из у; имеет знак, отличный от остальных двух, а в случае Yi = ?2 = Уз = —1 решение является сингулярным в некоторой области пространства-времени (взрывная неустойчивость).
Одно из существенных упрощений, характерных для задачи трехволнового взаимодействия, возникает благодаря отсутствию дисперсии. Если в начальный момент (который мы отнесем к /-> оо) огибающие волновых пакетов пространственно разделены и не имеют существенных пересечений, то можно обосновать [259], что волновые пакеты будут разделены и при /->-->-+оо. Когда пакеты пространственно разделены, они движутся каждый со своей характеристической скоростью Qi ~ Qi(x — — Cit), і = 1, 2, 3. Кроме того, решение трехволновой задачи сводится к последовательному решению обратных задач рассеяния 2X2, обсуждавшихся в гл. 1. Все важные результаты можно обосновать, воспользовавшись анализом, проделанным в разд. 1.3. Поскольку C3 > C2 > Cb то при /->—оо огибающие волновых пакетов расположены в пространстве в следующем порядке: Q3, Q2, Qi. Для того чтобы показать, почему задача рассеяния 3X3 эффективно сводится к задачам 2X2, мы рассмотрим огибающую Q3. При / —оо в области носителя Q3 волны Qi, Q2 обращаются в нуль. Поэтому задача 3X3 принимает вид (напомним, что Ni2 ~ Q3)
Мы видим, что U3 не изменяется и равно е1^азХ, поэтому задача эффективно сводится к системе на ViV2, которая совпадает с задачей (1.2.7а) при q = Ni2t г = N2i. Именно благодаря тому факту, что V3 = Ci^dix, частичная матрица рассеяния S(3) на по-
(2.1.42)
Vlx = IZdlVl + N12V2, V2x = Kd2v2-\- N21V1, V3x = iZ d3v3.2.1. Задачи на собственные значения
129
тенциале Q3, связывающая волновые функции по разные стороны от носителя, имеет вид
(2.1.43)
SO) =
Г< ай» <Ь о® а'3» 0
Lo 0 Ij
Мы напомним, что в задаче рассеяния 2X2 матрица рассеяния имеет вид
(2.1.44)
>2X2
-Г ! Ч.
L-Ь й\
(Здесь с целью проследить аналогию с разд. 1.3 мы будем сопоставлять фС'-^-ф, ^C'-vij), ф<2> —»—ф, ij)^2) —>¦ я|) и т. д.) Продолжая это рассуждение, мы получим при t ->¦ —оо, что
(2.1.45а) S = SoilSSf1So",
где индекс 0 соответствует t — —оо, и (опуская индексы)
г а<3> b<3> O- г а<2> 0 Ь(2> -1
s<3> = -ь{3) а(3) 0 S<2) = 0 1 0
- 0 0 1 - --Ь(2) 0 а(2) -
S1 =
г 1 0 LO
0 0
a(D
Bw ап)
Аналогично при -foo мы получим (2.1.45b) S = S^SfWp,
где индекс f обозначает ґ-v-f-oo. Приравнивая (2.1.45а) и (2.1.45Ь) и умножая справа вначале на (S(3)) , а затем на (5f2))-'» мы выразим значения bf/cif в терминах данных рассеяния, вычисленных при /-> —оо;
(2.1.46а) (2.1.46b) (2.1.46с)
bf
443)-43)W
й<3>
iL
42)
iL
ДІЇ
я(2)=(3) "0 "О
л(3)
,(2Ь(3) loo о о аР
¦*о "о
а
I „О)-{2)Г1
Iа/ «0 Di
U0 UQ
ewi,
¦ьТьП
5 Зак. 114130
2. МОЗР в других постановках
Всю информацию относительно связи решения при /-S--OO с
решением при /->- + OO можно получить из этих формул. (Отметим, что b связано с б, а с а как следствие симметрии; см. также разд. 1.3, например (1.3.14).)
Например, забавным применением этих идей является доказательство перераспределения солитонов между волновыми пакетами. Здесь мы должны предупредить читателя, что в дальнейшем мы будем вести речь о солитонах, связанных с задачей Захарова — Шабата для операторов 2X2, а не о решениях, порождаемых дискретным спектром задачи 3X3, которые были уже рассмотрены в этом разделе. Будем говорить, что нули функции a(Z) (или а(?)) в комплексной плоскости соответствуют аналогам солитонов в задаче 2X2 (читатель должен также иметь в виду, что данные рассеяния а, a, b, b считаются в дальнейшем целыми функциями). Из (2.1.46а) следует, что a(f3> имеет нули в точках нулей функций а® и а<3), за исключением тех случаев, когда числитель также обращается в нуль в этих точках. Для начальных условий общего вида таких совпадений не бывает, и мы ими пренебрежем. Таким образом, окончательное число солитонов волны Q3 равно числу солитонов этой волны до столкновения плюс число солитонов начальной волны Q2. В конечном состоянии волна Q2 не содержит солитонов, так как й^р не имеет нулей (нули функций a(f3' и a<,2>a® совпадают и сокращаются). Аналогично число солитонов волны Qi в конечном состоянии равно числу солитонов начального состояния этой волны плюс число солитонов волны Q2. (Следует подчеркнуть, что эти результаты приведены в качестве иллюстрации. В принципе можно ответить на любой вопрос, поскольку (2.1.46) содержит всю информацию, необходимую для реконструкции решения при /-> +оо.)