Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 40

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 164 >> Следующая


P12

При этом интегральное уравнение (2.1.30) имеет вырожденное ядро, и его решение приводит к ')

Ql = V?A ^r еЪ [в* (X1-CJ-X3) _

-ViV2 1,

fei fe3 J

Q2 =--4тЫзРч>У»Уз_е_ІЬ (X-C3I-X3) g-цAX-CJ-Xi)

Q3 = VpHfe YiY2 (x-c,«-*,) _

fei — fe3



') Это решение было впервые получено в работе Захарова и Манакова (1973) [1*]. — Прим. ред. 128

2. МОЗР в других постановках

где

(2.1.41) 0 = [eTbU-c,f-*3> — УіЇ2е_т1і(л:~Сз'-'Хз)]Х X [Є4а(*-Сі<-*,) _ у2'узЄ-ть(*-с,<~*і)] +

+ Y1Y3

g-T), (x-C3t-x3) g-^ix-Cxt-x,)^

При /-> оо волновые пакеты Q3 и Qi движутся по своим характеристикам X — C3/ и X — Ci/ (Q3 слева от Qt)- При увеличении t пакеты встречаются и порождают волну Q2- При / -»-оо волна Q2 распадается и затухает, a Qi и Q3 опять движутся по своим характеристикам (Q3 справа от Qi). Амплитуды волны Qi, Q3 в этом процессе не меняются. Решение является несингулярным, если одна из у; имеет знак, отличный от остальных двух, а в случае Yi = ?2 = Уз = —1 решение является сингулярным в некоторой области пространства-времени (взрывная неустойчивость).

Одно из существенных упрощений, характерных для задачи трехволнового взаимодействия, возникает благодаря отсутствию дисперсии. Если в начальный момент (который мы отнесем к /-> оо) огибающие волновых пакетов пространственно разделены и не имеют существенных пересечений, то можно обосновать [259], что волновые пакеты будут разделены и при /->-->-+оо. Когда пакеты пространственно разделены, они движутся каждый со своей характеристической скоростью Qi ~ Qi(x — — Cit), і = 1, 2, 3. Кроме того, решение трехволновой задачи сводится к последовательному решению обратных задач рассеяния 2X2, обсуждавшихся в гл. 1. Все важные результаты можно обосновать, воспользовавшись анализом, проделанным в разд. 1.3. Поскольку C3 > C2 > Cb то при /->—оо огибающие волновых пакетов расположены в пространстве в следующем порядке: Q3, Q2, Qi. Для того чтобы показать, почему задача рассеяния 3X3 эффективно сводится к задачам 2X2, мы рассмотрим огибающую Q3. При / —оо в области носителя Q3 волны Qi, Q2 обращаются в нуль. Поэтому задача 3X3 принимает вид (напомним, что Ni2 ~ Q3)

Мы видим, что U3 не изменяется и равно е1^азХ, поэтому задача эффективно сводится к системе на ViV2, которая совпадает с задачей (1.2.7а) при q = Ni2t г = N2i. Именно благодаря тому факту, что V3 = Ci^dix, частичная матрица рассеяния S(3) на по-

(2.1.42)

Vlx = IZdlVl + N12V2, V2x = Kd2v2-\- N21V1, V3x = iZ d3v3. 2.1. Задачи на собственные значения

129

тенциале Q3, связывающая волновые функции по разные стороны от носителя, имеет вид

(2.1.43)

SO) =

Г< ай» <Ь о® а'3» 0

Lo 0 Ij

Мы напомним, что в задаче рассеяния 2X2 матрица рассеяния имеет вид

(2.1.44)

>2X2

-Г ! Ч.

L-Ь й\

(Здесь с целью проследить аналогию с разд. 1.3 мы будем сопоставлять фС'-^-ф, ^C'-vij), ф<2> —»—ф, ij)^2) —>¦ я|) и т. д.) Продолжая это рассуждение, мы получим при t ->¦ —оо, что

(2.1.45а) S = SoilSSf1So",

где индекс 0 соответствует t — —оо, и (опуская индексы)

г а<3> b<3> O- г а<2> 0 Ь(2> -1
s<3> = -ь{3) а(3) 0 S<2) = 0 1 0
- 0 0 1 - --Ь(2) 0 а(2) -

S1 =

г 1 0 LO

0 0

a(D

Bw ап)

Аналогично при -foo мы получим (2.1.45b) S = S^SfWp,

где индекс f обозначает ґ-v-f-oo. Приравнивая (2.1.45а) и (2.1.45Ь) и умножая справа вначале на (S(3)) , а затем на (5f2))-'» мы выразим значения bf/cif в терминах данных рассеяния, вычисленных при /-> —оо;

(2.1.46а) (2.1.46b) (2.1.46с)

bf

443)-43)W

й<3>

iL

42)

iL

ДІЇ

я(2)=(3) "0 "О

л(3)

,(2Ь(3) loo о о аР

¦*о "о

а

I „О)-{2)Г1

Iа/ «0 Di

U0 UQ

ewi,

¦ьТьП

5 Зак. 114 130

2. МОЗР в других постановках

Всю информацию относительно связи решения при /-S--OO с

решением при /->- + OO можно получить из этих формул. (Отметим, что b связано с б, а с а как следствие симметрии; см. также разд. 1.3, например (1.3.14).)

Например, забавным применением этих идей является доказательство перераспределения солитонов между волновыми пакетами. Здесь мы должны предупредить читателя, что в дальнейшем мы будем вести речь о солитонах, связанных с задачей Захарова — Шабата для операторов 2X2, а не о решениях, порождаемых дискретным спектром задачи 3X3, которые были уже рассмотрены в этом разделе. Будем говорить, что нули функции a(Z) (или а(?)) в комплексной плоскости соответствуют аналогам солитонов в задаче 2X2 (читатель должен также иметь в виду, что данные рассеяния а, a, b, b считаются в дальнейшем целыми функциями). Из (2.1.46а) следует, что a(f3> имеет нули в точках нулей функций а® и а<3), за исключением тех случаев, когда числитель также обращается в нуль в этих точках. Для начальных условий общего вида таких совпадений не бывает, и мы ими пренебрежем. Таким образом, окончательное число солитонов волны Q3 равно числу солитонов этой волны до столкновения плюс число солитонов начальной волны Q2. В конечном состоянии волна Q2 не содержит солитонов, так как й^р не имеет нулей (нули функций a(f3' и a<,2>a® совпадают и сокращаются). Аналогично число солитонов волны Qi в конечном состоянии равно числу солитонов начального состояния этой волны плюс число солитонов волны Q2. (Следует подчеркнуть, что эти результаты приведены в качестве иллюстрации. В принципе можно ответить на любой вопрос, поскольку (2.1.46) содержит всю информацию, необходимую для реконструкции решения при /-> +оо.)
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed