Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Имеется несколько обзоров (см., например, [452, 381, 382, 3, 344] и сборников статей (см., например, [396, 380, 332]), отно-
" В оригинале «The Inverse Transform Method». Авторы используют этот термин на протяжении всей монографии. Выражение «метод обратной задачи рассеяния» было предложено в работе Захарова и Шабата [546] (1974) и является общепризнанным в советской и значительной части зарубежной литературы. — Прим. ред. 12
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
сящихся к предмету. Во время написания настоящей книги не было ни одной монографии по теории солитонов и МОЗР, хотя мы не сомневаемся, что ситуация скоро изменится1).
Изучение уединенных волн началось с-наблюдений Дж. Скотта Рассела [437, 438], сделанных более века назад. Рассел, впервые наблюдал уединенную волну во время верховой прогулки вдоль узкого судоходного канала. Когда баржа, за которой он следил, остановилась, Рассел отметил, что
«вперед побежало большое одиночное возвышение — округлый, гладкий и ясно выраженный водяной холм, который продолжал свой путь вдоль • канала, нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости... Его высота постепенно уменьшалась, и через одну или две мили погони я потерял его из виду в изгибах канала. Так в августе 1834 г. мне впервые посчастливилось наблюдать это необычное и красивое явление»... [437]
Это наблюдение вдохновило Рассела начать систематическое экспериментальное исследование поверхностных волн на воде. Он разделил все поверхностные волны на два типа: «большие простые волны трансляции» (которые в дальнейшем стали называть уединенными волнами) и все остальные волны, которые «принадлежат ко второму, или колебательному, типу волн». Последние не являются волнами «первого типа» [437] Очевидно, что он рассматривал уединенные волны как имеющие первостепенную важность и сконцентрировал на них свое внимание. Среди множества его результатов мы хотели бы отметить следующие:
1. На мелкой воде могут распространяться длинные уединенные волны неизменной формы. Это, несомненно, наиболее важный его результат.
2. Скорость распространения уединенной волны по каналу постоянной глубины дается формулой
о — V& (А + г]),
где Т] «является высотой гребня волны над поверхностью спокойной жидкости, h — глубина спокойной жидкости и g — ускорение свободного падения» [438]. Если учесть, с какой точностью мог Рассел проводить свои измерения, этот результат является замечательным.
Рассел обнаружил, что до сих пор не существует математической теории, объясняющей уединенную волну, но отметил, что
«Не следует думать, что после открытия ее существования не будут предприняты попытки привести этот факт в соответствие с существующей теорией, иначе говоря, показать, что ее следовало ожидать исходя из известных уравнений движения жидкости. Другими словами, теперь следует
') Во время корректуры этой монографии вышли из печати книги За^ харова, Манакова, Новикова, Питаевского [539] и Лэма [313]. 1.1. Введение
13
математически предсказать уже совершившееся открытие, т. е. дать априорную демонстрацию апостериори». (Рассел (1844) [4381).
По-видимому, Рассел с особой подозрительностью относился к Эйри, который в своей книге «Приливы и волны» [37] опубликовал теорию длинных волн малой, но конечной амплитуды. Эта теория, кратко изложенная в монографии Лэмба [314, §§ 175, 187], утверждает: «Когда возвышение г] не мало по сравнению со средней глубиной h, волны даже в канале постоянной глубины и прямоугольного сечения не могут распространяться вдоль без изменения своего вида». Таким образом, заключал Эйри, уединенные волны неизменной формы не существуют! Он также нашел приближенную формулу для скорости волн
которая согласуется с формулой Рассела в первом порядке по ц/h. Отсюда Эйри делал следующий вывод: «Из этих [т. е. проделанных Расселом] экспериментов мы вправе заключить, что теория [предложенная Эйри] полностью подтверждена». Рассел охарактеризовал заключение Эйри как «полностью противоположное тому, которое следовало бы сделать на данном основании».
Эта полемика продолжалась на протяжении следующих пятидесяти лет, пока она не была окончательно разрешена Корте-вегом и де Фризом [28]. Они вывели уравнение (ныне известное как уравнение Кортевега— де Фриза, или уравнение КдФ), которое описывает поведение волн умеренной амплитуды на поверхности неглубокой жидкости. Это уравнение имеет решение в виде стационарно распространяющихся волн, в том числе солитонов.
Буссинеск [75, 76] также получил нелинейное эволюционное уравнение, описывающее подобные волны, и нашел для него со-литонное решение. Такое решение получил также Рэлей (1876) [426]. После этих ранних работ уравнение Кортевега —де Фриза не находило, как отмечал Миура [381], новых приложений вплоть до 1960 г., когда Гарднер и Морикава [174], изучая маг-нитогидродинамические волны в бесстолкновительной плазме, снова не вывели это уравнение ').
Новые исследования по уравнению КдФ были стимулированы физической проблемой, известной как проблема Ферми, Паста, Улама (1955) [153]. В 1914 г. Дебай [134] предположил, что конечность теплопроводности решетки из ангармонических осцилляторов объясняется нелинейностью системы. Это побу-
