Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
C
(2.1.29b) ?(? (g, X) e-ild,x = ^ ! ^ + _1_ j p6 (g') X
Xe-'W^?', S X),
с
(2.1.29с) ?(? х) е-W = ^ + _i_ J р4 ?') X
где
(2.1.29d)
P4 = Pi =
азі
«33
IlL
flu
P2 :
Рз:
fl32
а3з &12
P3 =
а„
Ь 23 &33
В (2.1.29а, с) мы подставим і|>,2) из (2.1.29b). Это даст лишь интегральные соотношения между i|)(1) и Далее мы подставим интегральные представления для i|)(1), ^*31 в эти соотноше-
OO
ния. Подействовав на (2.1.29а) оператором 1/2я ^ e'E(*-»)?¦ dt,
— 00
OO
и на (2.1.29с) оператором 1/2я ^ e-'S<*-y)?»dg (преобразование
— оо
Фурье), после утомительных алгебраических вычислений полу- 124
2. МОЗР в других постановках
чим при у > x
(2.і.30а) k^(x, у)+^ 1 у, (у) + ^о jF3 (д , у) + ^О j F5(х, у) +
OO
+ j (*»>(*, s)f3(s, у) + km (х, s) f5 (s, y))ds = о,
x
(2.1.30b) Л'<3>(х, у) + ^ 1 jF2(у) + ^О ^F4(х, у) + ^О jF6 (х, у)+
OO
+ 5 (/("> (x, s) F6 (s, у) + km (X, s) F4 (s, у)) ds = О,
x
где
(2.1.30с) '
F2(X) = -I^ ] ^p2
с
(2.1.30d) F3(*, ^) = ^CPa(S) ^ \ Y^lPAOe-iW'*,
с с
(2.1 .ЗОе) F4 (х, у) = - !p. J d?p6 (О є"™»* J ^rg P2 (?') є*'»",
с с
(2.1.30f) F5 (х, г/) = -Ь. J ^p3 (o е-« (Ьц,+М _
С
- Ip7 ^ di Рб © 5 г4+„Р, г)
с с
(2.1.30g) F6(*, У) = If-JdCp4 (5) Є<с ^+Part +
с
+ & S (?) е'"»* S Y^1 P2 (ґ) е^.
В (2.1.30f, g) можно перейти к пределу є->0 (мы найдем его, если изменим порядок интегрирования, сохранив соотношение между ? и ?')• Рассматривая предел |?| оо для г|5(1), г|)(2>, f<3> в (2.1.1а) и в интегральных представлениях (2.1.20), мы полу- 2.1. Задачи на собственные значения
125
чим
(2.1.31а) N21 (X) = /С") (х, х), N31 (х) = - |^К(»(х, х), (2.1.3lb) N13(x) = - |^ Kf Hx, х), N23(X) = - KfHx, х),
(2.1.31с) N12(X) = -?12(?,(*)-J ds [Kf (х, s)E2(s)-
\ * — ТС«1» (AT, s)El (s)),
(оо
E2(X)+ \ ds (Kf>(х, s) E2(s)-
x
-Ki1Hx, s) E1 (s)),
где
(2.1.32а) E1 (X) = -L J р8(Є)е'»»*<*Є,
с
(2.1.32b) E2(X) =L-\ p6(Qе-™«*d?.
с
При выводе (2.1.31) мы использовали (2.1.29bJ в пределе I?|-)-оо вдоль вещественной оси и подставили интегральное представление (2.1.26) в (2.1.29Ь).
2.1. с. Трехволновое взаимодействие. Свяжем теперь только что описанную обратную задачу рассеяния с конкретной задачей нелинейного взаимодействия трех волн (2.1.12).
Используя выбранные в (2.1.12) масштабы, мы получим, что оператор временной эволюции (2.1.1b) приводится к виду
(2.1.33) vtt = [- ^f-Nii - CftlJ .
Определим зависимость данных рассеяния от времени. Для этого определим зависящие от времени собственные функции
(2.1.34а) qM <'> = q><»> exp (- ?/) ,
(2.1.34b) № = ф<«> exp (- і ^^ V) ¦
В каждый момент времени і функции qp(m>'('>, i|)<m>' M подчиняются соотношению
(2.1.35) ф<*>. «> = E amn (і = 0) <'>,
«=і 126
2. МОЗР в других постановках
так как ф,т)' (<>, г|э(т> удовлетворяют одновременно соотношениям (2.1.1а) и (2.1.1b). Затем, воспользовавшись (2.1.22), получим
(2.1.36) атп (/) = атп (0) ехр (/C1C2C3 - t) •
Таким образом, диагональные элементы матрицы рассеяния, так же как и в задаче 2X2, не зависят от времени. Используя формулы следов, так же как в случае 2 X 2, с этими элементами можно связать бесконечное число сохраняющихся величин. С другой стороны, так же как в разд. 1.6, прямым вычислением можно получить бесконечный набор локальных законов сохранения [193].
Соотношения, выписанные после (2.1.12), приводят к следующим необходимым условиям симметрии:
(2.1.37а) P5 (S) = -YiY2 (Pi О*.
(2.1.37b) P6 (S) = -Y2Ys (P2 О*.
(2.1.37с) Y.P4 (S) + Y3 (Рз О* - Y2 (Pi О* P2 (С) = 0,
где Pi(S) определены в (2.1.29d). Это в свою очередь дает
Fl(x, у) = F3(х, у), F\{x, у) = F4(у, х),
(2.1.38) Fl(x, і/) =-Y1Y2(у, *),
W = -^r-W'
Частное солитонное решение получается в том случае, когда ядро интегрального уравнения является вырожденным. Несмотря на то что уравнения трехволнового взаимодействия являются бездисперсионными и поэтому солитоны в нем не более важны, чем вклад от непрерывного спектра, тем не менее они проливают свет на структуру решения, так как имеют замкнутый и явный вид. Мы рассмотрим случай, в котором ап и а3з имеют нули в соответствующих полуплоскостях. Пусть Sl(S3) является простым нулем функции ап(а33) в нижней (верхней) полуплоскости, и C(C) является вычетом р2(рі) в точке ? = 5з(? = Si) (вычеты р4 в S3, Рз в Si, р5 в ?j> P6 в S3 определяются по формулам 2.1. Задачи на собственные значения 127
(2.1.37с)). В этом случае ядра приводятся к виду Fi (x) = /?12Ce-^4 F2(X) = -IfaCeiM",
(2Л-39) РЛх,у) = -у2у
E- / \ Q СС*
Fs (х, y) = iy2y3?i2jr—-ге »
^l ~~ ^3
F6 (х, у)= — JYiY2?23 --р е v 12 1 23 3 >,
S3 ~ fei
остальные определяются _по формулам (2.1.38). Из (2.1.3b) следует, что зависимость С, С от времени имеет вид
C = Coe-"«»Cl<, (2.1.40а) _ _ _
С = С0е^с>К
Мы будем параметризовать C0, C0 и ?ь ?3 следующим образом:
(2.1.40b) S1 = i^ ^3 = j^Tl'
(2.1.40с) C0 =
(2.1.40d) C0 = -Qi-е^+^л.
