Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Vm3 V3 W3J
отличен от нуля, если и, V, w линейно независимы. Кроме того, имеем
(2.1.2 lb) Wx = IZ(TrD)W
(Tr D = след D = d{ -f d2 + d3). Таким образом, тройки векторов [ф<", ф<2>, ф(3>] и [i|>(1), i|)<2), ф'3'] являются наборами линейно независимых собственных функций. Поэтому
(2.1.22а) Ф(Л=? MO],*^.
ft=i
Так называемая матрица рассеяния имеет вид
- аи а12 а13
(2.1.22b) s=[a/ft]= a2l а22 а23
- O31 a32 o33 -
Она связывает решения при л:->+с>о и х->—оо. В случае задачи 2X2 (разд. 3) мы имеем
/ a b \
,2.,.22с, S = (_6 J.
Вычислив определитель от (2.1.22а), мы получим аналог соотношения ай + bb = 1: (2.1.22d) det [ajk] = 1.
Аналогичным образом можно разложить собственные функции г|:(/) по функциям ф(/>:
з
(2.1.23а) ?11=^4,/,120
2. МОЗР в других постановках
Подставляя (2.1.23а) в (2.1.22а), получим
(2.1.23b) Z alkbkl = blt.
к = 1
Вопрос об аналитичности решается при помощи интегрального уравнения, связанного с (2.1.1а). Например, выбрав граничные условия вида (2.1.20а), мы придем к следующему интегральному уравнению для <р(/):
x
(2.1.24а) (ж) e~iUix = б„ , - і J dye™"i {х~у) X
— OO
xiiNnm(y)(^(y)e-^xl
m=l
где
(2.1.24b) finj = da-dr
Отметим, что: (1) уравнение (2.1.24а) является уравнением типа Вольтерры; (2) ?lm >0 и ?3m < 0. Это немедленно приводит к тому, что собственная функция ф^е-'^* является аналитической в нижней полуплоскости ?, a ?(?-'?* — в верхней полуплоскости ? при всех вещественных х. Действительно, предположив потенциал принадлежащим Lu можно показать, что уравнение (2.1.24а) имеет сходящийся ряд Неймана. Кроме того, поскольку ап = Iim i^dix, получаем, что a.. (S) тоже
Х~>оо
является аналитической функцией в нижней полуплоскости. Тем же способом можно проанализировать функции
В результате получим, что в нижней полуплоскости (? =. = I -f- ir\, г) < 0) аналитичны функции
(i) q>(i>e-'Wi*, ф<з)е-/М,*, ап, b33-,
в верхней полуплоскости (S = I + Щ, 1I > 0) аналитичны функции
(ii) ф<з>е-^*, фО>е-'С<*.*, азь Ьп.
(Когда потенциал А7,-* имеет ограниченный носитель или убывает быстрее любой экспоненты, то определенные выше функции являются целыми. Функции (і) и (Ii) ограничены при |?|->оо.)
Эти результаты позволяют надеяться на построение естественных интегральных представлений для ф(1), ф(3>, г|)(1), "ф(3) с требуемыми свойствами аналитичности. Однако у нас нет информации относительно функций ф(2>, г|)(2). Это первый трудный во-2.1. Задачи на собственные значения
121
прос, который пока встретился. Все остальные идеи (речь все время идет об операторе (2.1.1а)) совершенно аналогичны случаю 2X2.
Кауп [259], рассматривая собственные функции сопряженного оператора, показал, что
являются аналитическими соответственно в верхней и нижней полуплоскостях Перед тем как перейти к обратной задаче рассеяния, мы отметим, что, рассматривая (2.1.1а) при |?|->оо (методом ВКБ), с учетом граничных условий получим
(2.1.25а) (2.1.25Ь)
Х = (W'- бпЛ эс = е-,СА*(М>(2)- М>(3>)
Im ? > 0, ф<3>e-<W
(2.1.25с)
О
(2.1.25d)
*зз=1 + 0(1).
Основываясь на аналитичности, мы предположим существование следующих интегральных представлений для функций \|э(1) и г|}(3> (имеющих подходящее аналитическое поведение в верхней123 2. МОЗР в других постановках
и нижней полуплоскостях):
(2.1.26а) ф<і>е-'М*=[ 0 1+ \ К0){х, s)e'&<s-*>fWs,
UJ '
0\ CC 1 / *
Потребовав, чтобы (2.1.26) удовлетворяли уравнению (2.1.1а), получим уравнения в частных производных для К{1), К{3) (аналогичные (1.3.19)); например, для К(1)
(2.1.27а) {(дх + U-dyD~{) ду } к}х) (х, y)=N (х) Kw (х, у),
причем
lim Klt)(x, s) = 0, (2.1.27b) о
К^(х, х) = -^Nlll (х), п = 2, 3.
Отсюда следует независимость /<С(1)(х, у) от параметра S- Из такого же анализа для г|з(3> мы получим, что /((3) связано с потенциалом соотношением
(2.1.27с) Kf (х, x) = --^Nn3(x), п = 1,2,
и что /((3) также не зависит от S-
Для того чтобы вывести уравнения обратной задачи рассеяния, мы вначале выведем некоторые интегральные представления для ф(/), / = 1, 2, 3. Мы предположим, что потенциалы убывают быстрее любой экспоненты, так что все функции являются целыми и поэтому можно определить контурные интегралы. (Это ограничение можно убрать, при этом контурные интегралы заменятся на интегралы вдоль вещественной оси и сумму вкладов от полюсов.)
Мы определим контур с (с) на плоскости S проходящим от -OO + 18 (от —оо — і'є) , Є > О, K +OO + (Е (к +OO — t'e) сверху (снизу) всех нулей функций 6ц, азз(ац, &зз). Теперь вычислим интегралы
7' = J an (С)(Е-E') d^ '
с
(2.1.28) I2 = Q - ^ ,
/з== J азз (С) (S' -S) dЄ'
(2.1.26b) ipe-'W* ¦=2.1. Задачи на собственные значения 123
где для /1(/3) ? лежит выше (ниже) контура с (с), а для /2 І лежит между с и с. Используя (2.1.22а), асимптотики (2.1.25), (2.1.24) и требование аналитичности, при помощи контурного интегрирования найдем
(2.1.29а) ?")(5, = j-^ j Г) X
X ?'» *)~ 2НГ $1? GO *)•