Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
([А, В] =S AB — BA). Kax в разд. 1.2, мы хотим при заданных D, N найти такое Q, которое удовлетворяет (2.1.2), чтобы задачи (2.1.1а, Ь) были совместны. Это приведет к дальнейшим ограничениям, которые представляют собой систему нелинейных эволюционных уравнений. Разложение Q по степеням С является отправным пунктом нашего исследования. В качестве примера мы выведем уравнения нелинейного трехволнового взаимодействия. Эта система уравнений получается наиболее просто. Мы разложим Q в виде
(2.1.3) Q = Q4 + Q<0>
(ибо уравнения трехволнового взаимодействия имеют первый порядок по пространственным производным). Результаты разд. 1.2 и Л.5 мотивируют выбор вида (2.1.3). Подставив
(2.1.3) в (2.1.2), получим в порядке
(2.1.4) і [D, Q«>] + і g (DlkQjlf - QWDkl) = 0.
Воспользовавшись тем, что Dik = бikdk, получим (d. — dj) Qil1J = 0. Мы будем предполагать, что
di> d2> dz
и поэтому
(2.1.5) Q(// = qfilr
Мы выберем все qi постоянными (можно показать, что если какое-нибудь qi является функцией времени, то заменами переменных эволюционное уравнение, которое получится в результате вычисления, приводится к виду с постоянным qi). В порядке ? имеем
(2.1.6а) Q^ = i[D, QW] + [A', Q<»]
или
(2.1.6b) QV) х = / E (DlkQfi - QflDkj) + ? (NlkCty - ^Nkj).
k Я
Подстановка (2.1.5) в (2.1.6) дает (отметим, что здесь мы не пользуемся соглашением о суммировании по повторяющимся индексам)
(2-1-7) ^ = 7??-^
При / = / мы возьмем QfJ = 0. Определив (2-1-8) a'i = TT^j; = '* 114 2. МОЗР в других постановках
представим (2.1.7) в виде
(2.1.9) Qfl = CiljNll; 1ф].
При мы имеем Q^ = Nt + [М, Q(0)], откуда получаем систему N(N-I) уравнений
(2.1.10) Nll, t - UljNlj, х = ? (aik - %) NlkNkj
k
(отметим, что условие Nn = 0 совместно с (2.1.10)). Число уравнений можно уменьшить в два раза, потребовав Nlj = OljNmjl. (Это аналог выбора q = ±г* в разд. 1.2 в случае матриц второго порядка.) Тогда система (2.1.10) и комплексно сопряженная ей система совместны, если
(2.1.11) OlkOkj = -Otjt l>k>j,
и коэффициенты aij вещественны.
Уравнения (2.1.10) подходящим выбором масштабов переменных можно привести к виду стандартной системы нелинейных уравнений трехволнового взаимодействия. Например, мы получим систему
Qu + ClQn = IylQt2Ql,
(2.1.12) Q2t + C2Q2x = Iy2QtlQl, Q3* + CsR3x = Iy3QK,
где YiY2Ys =— 1 и Yi = ±1» если положить
Ni2 = - /Q3/V?i3?23. W31 = - /Q2/V?u?a.
= + yvI3 = -Y1Y3^i'
^32 = Y2Y3^3' N2i = Y1VvI2-
где
qj = — і , ?;/ — d-i — dj = Cj — Сі,
C3 > C2 > C1.
В системе (2.1.12) имеются распадная неустойчивость (для волн с положительно определенной энергией), если мы выберем знак одной из Yi отличным от оставшихся, и взрывная неустойчивость, когда Yi — Y2 = Y3 — —Прямо из уравнений мы мд» 2.1. Задачи на собственные значения
115
жем вывести законы сохранения
(2.1.13)
YiM1 — Y2M2 = const, Y2M2 — Y3M3 = const, YiM1 — Y3M3 = const,
где Mn= \ QnQn dx, и видно, что не существует положительно
определенной энергии в случае у,- = —I, j = 1, 2, 3.
Отметим, что так называемый случай двухволнового взаимодействия получается из (2.1.12), если положить C3 = C2, Q3 = = Q2. С точки-зрения нашего вывода, это является сингулярным пределом, и задача на собственные значения (2.1.1), по-видимому, неприменима. Kayn [263] подробно изучил двухволновой случай.
Несколько позднее в этом разделе мы вернемся к более подробному изучению трехволнового взаимодействия; сначала, однако, обсудим случай другого разложения Q. Если мы возьмем Q = Q<2>?2 4- Q<'>? 4- Q<°) и проделаем те же вычисления, как и раньше, мы найдем
(2.1.14) IitNlhxx +BtiNlhx- Z Y Ikl(NikNkj)x =
кф 1,1
= Nlht+ Z ІЧіNIkNki + кф 1,1
+ Nii j 2$tiNliNil + ^ i (Р*/ + Y/*,) NjkNki --(ht + Vk?) NlkNki} +
+ Z (МіА/л-РЛЛл) +
кф І, і
+ Z Z (VikmNklNimNmk- ykjmNIkNkmNmi),
к ф 1,1 тф І, 1
— OO
где
--ait, ?// = f {d[ 1L dj) = - ?/f
W-я?
= УHk = Vktn *ч = і {d[ _ dj) - eH
і (dt - d.)
akj~aik
l) Соотношения (2.1.13) принято называть соотношениями Мэнли — Pov.-Прим. ред. 116
2. МОЗР в других постановках
и qfK q(P — произвольные константы. Схематически эти члены могут быть интерпретированы следующим образом:
^ + Ш +вс+?(вс>+
групповая дисперсия тройной резонанс скорость
+ A2A* + ABB' + BDE
самодействие нелинейный четверной сдвиг резонанс
частоты
Следует отметить, что все эти члены возникают в теории возмущений; при этом будем иметь в виду, что производные полей имеют дополнительный порядок малости (отметим, что члены ВС возникли бы в другом порядке по сравнению с дх(ВС)). При использовании этого уравнения в конкретных физических приложениях следует следить за тем, чтобы все его коэффициенты в точности совпадали с коэффициентами интересующей задачи. Например, если а,/, ?,; подобрать подходящим образом, то уравнение (2.1.14) может быть приведено к виду, интересному для физических приложений:
(I) Манаков [346]. Векторное нелинейное уравнение Шрёдингера:
