Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 35

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 164 >> Следующая


h

о

b(t)-»fm, 6 (S) _>-0(-21), 110

1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале

ного решения. Покажите, что при этом возникнут секулярные члены. Как вы согласуете этот результат с результатом п. (Ь)?

2. Каким будет асимптотическое решение (1.7.2), если допустить, что один из нулей а (?) лежит на вещественной оси? (В работе [26] мы предположили, что скорость убывания решения в этом случае должна быть (In t/t)1'2.) Проделать то же самое для (1.7.23).

3. Вывести (1.7.33), (1.7.35).

4. (а) Пусть функция

является начальным условием для (1.7.2). Найти а (|) и Ь(Ъ) в явном виде при а = +1 и при а = —1. Какому неравенству должны удовлетворять QhL, чтобы не было солитонов?

(b) Найти асимптотические решения уравнения (1.7.2) при 0=4-1 и при о = —1, развивающиеся из этого начального условия в случае отсутствия солитонов. Обрисуйте поведение огибающей волновых пакетов этих решений на основании только главных членов асимптотических разложений. (Здесь следует найти хорошо определенные волновые пакеты.)

(c) Сравнивая первую поправку асимптотического разложения с главным членом, определить время, необходимое для установления асимптотической картины, обрисованной в п. (Ь).

(d) Манаков [345] отметил следующее приложение уравнения (1.7.2). Пусть интенсивная (интенсивности |Q|2) плоская монохроматическая световая волна нормально падает на непрозрачный экран с длинной щелью ширины L. Если х является координатой вдоль экрана, a t обозначает координату, нормальную к экрану, то решение уравнения (1.7.2) представляет собой комплексную амплитуду волны дифракции на щели. Нелинейный член в (1.7.2) представляет собой изменение коэффициента преломления среды в поле интенсивной волны. Решение, которое вы обрисовали в п. (Ь), соответствует дифракционной картине, которую можно наблюдать, поместив дополнительный экран вдали от щели. Время, оценка которого была получена в п. (с), здесь интерпретируется как расстояние, на которое следует отодвинуть экран от щели. При этом солигонам отвечают дифракционные волноводы, в которых интенсивность не уменьшается при удалении экрана от щели.

5. Рассмотреть задачи п. 4 для уравнения (1.7.23) вместо

6. Найти асимптотическое решение уравнения sin-Гордон фXt = sin ф, предположив отсутствие солитонов.

Q, О <x<L\ О в других точках

(1.7.2). Упражнения

111

(a) Найти автомодельное решение. Показать, что внутри светового конуса уравнение имеет медленно меняющееся автомодельное решение вида

Ф~2Г1/2,Г2/4^8ІПЄ, Q^2fX1,2-jd2lnl-^-X + 0,

где X = -хЦ, d = d(X), е = ё(Х).

(b) Показать, что при — x/i =

^(Z)=-Imji+|г (4)|2},

B(X) = -J-arg{r(4)}-arg{r (l }-|rf4n2-

t"1 -і - ] id^dy-

(b) Выразить окончательный результат через лабораторные переменные X — {х + 0 ит = {x — t).

(c) Что происходит вблизи светового конуса, вне его?

7. Вывести (1.7.52).

8. (а) Показать, что при больших k (т. еД > ? (в (1.3.33))

( k\ ід (k)

где q — преобразование Фурье функции q(x) и р(&) является коэффициентом отражения, определенным в (1.3.33—35).

(Ь) Сравнивая асимптотические решения уравнения КдФ и его линеаризации (П.1.49),показать, что пределы (/-^0, начальные условия 0) коммутируют (при отсутствии солитонов) всюду, кроме окрестности бесстолкновительной ударной волны. Другими словами, область ударной волны является существенно нелинейной; вне ее решения уравнения КдФ при отсутствии солитонов являются лишь слабонелинейными. Глава 2. МОЗР

в других постановках

2.1. Задачи рассеяния для операторов более высокого порядка и многомерные задачи рассеяния. До сих пор мы рассматривали только такие нелинейные эволюционные уравнения, которые связаны с операторами второго порядка. Захаров и Манаков (1973) [533] показали, что существуют интересные с точки зрения физических приложений уравнения, связанные с задачами рассеяния для операторов более высокого порядка. В частности, они показали, что хорошо известное уравнение трехвол-нового взаимодействия связано с задачей рассеяния для' оператора третьего порядка. Несколько позднее Kayn [259] и Захаров, Манаков [535] изучили соответствующую обратную задачу рассеяния и решения уравнений движения.

В этом разделе мы вначале покажем, как идеи разд. 1.2 можно без труда обобщить на случай задач более высокого порядка. Затем мы обсудим некоторые подробности, связанные с процедурой вывода уравнений обратной задачи рассеяния.

2.1. а. Вывод одномерных эволюционных уравнений. Мы начнем с матричной формулировки [8]:

и D, N, Q являются n X "-матрицами, причем D диагональна, D = dibij (diag(db dz, ..., dn)), di = const и N — такая матрица, что Nu = 0 (в действительности последнее предположение несущественно, но оно упрощает анализ). Из равенства производных Vxt = Vix, полученных перекрестным дифференцированием, и требования tt — 0 получим

(2.1.1а) (2.1.Ib)

vx = %Dv + N\, Vt = Qv1

где V является п X 1-матрицей (вектором)

(2.1.2)

Qx = Nt + iUD, Q] + [N, QJ 2.1. Задачи на собственные значения

113
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed