Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
h
о
b(t)-»fm, 6 (S) _>-0(-21),110
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
ного решения. Покажите, что при этом возникнут секулярные члены. Как вы согласуете этот результат с результатом п. (Ь)?
2. Каким будет асимптотическое решение (1.7.2), если допустить, что один из нулей а (?) лежит на вещественной оси? (В работе [26] мы предположили, что скорость убывания решения в этом случае должна быть (In t/t)1'2.) Проделать то же самое для (1.7.23).
3. Вывести (1.7.33), (1.7.35).
4. (а) Пусть функция
является начальным условием для (1.7.2). Найти а (|) и Ь(Ъ) в явном виде при а = +1 и при а = —1. Какому неравенству должны удовлетворять QhL, чтобы не было солитонов?
(b) Найти асимптотические решения уравнения (1.7.2) при 0=4-1 и при о = —1, развивающиеся из этого начального условия в случае отсутствия солитонов. Обрисуйте поведение огибающей волновых пакетов этих решений на основании только главных членов асимптотических разложений. (Здесь следует найти хорошо определенные волновые пакеты.)
(c) Сравнивая первую поправку асимптотического разложения с главным членом, определить время, необходимое для установления асимптотической картины, обрисованной в п. (Ь).
(d) Манаков [345] отметил следующее приложение уравнения (1.7.2). Пусть интенсивная (интенсивности |Q|2) плоская монохроматическая световая волна нормально падает на непрозрачный экран с длинной щелью ширины L. Если х является координатой вдоль экрана, a t обозначает координату, нормальную к экрану, то решение уравнения (1.7.2) представляет собой комплексную амплитуду волны дифракции на щели. Нелинейный член в (1.7.2) представляет собой изменение коэффициента преломления среды в поле интенсивной волны. Решение, которое вы обрисовали в п. (Ь), соответствует дифракционной картине, которую можно наблюдать, поместив дополнительный экран вдали от щели. Время, оценка которого была получена в п. (с), здесь интерпретируется как расстояние, на которое следует отодвинуть экран от щели. При этом солигонам отвечают дифракционные волноводы, в которых интенсивность не уменьшается при удалении экрана от щели.
5. Рассмотреть задачи п. 4 для уравнения (1.7.23) вместо
6. Найти асимптотическое решение уравнения sin-Гордон фXt = sin ф, предположив отсутствие солитонов.
Q, О <x<L\ О в других точках
(1.7.2).Упражнения
111
(a) Найти автомодельное решение. Показать, что внутри светового конуса уравнение имеет медленно меняющееся автомодельное решение вида
Ф~2Г1/2,Г2/4^8ІПЄ, Q^2fX1,2-jd2lnl-^-X + 0,
где X = -хЦ, d = d(X), е = ё(Х).
(b) Показать, что при — x/i =
^(Z)=-Imji+|г (4)|2},
B(X) = -J-arg{r(4)}-arg{r (l }-|rf4n2-
t"1 -і - ] id^dy-
(b) Выразить окончательный результат через лабораторные переменные X — {х + 0 ит = {x — t).
(c) Что происходит вблизи светового конуса, вне его?
7. Вывести (1.7.52).
8. (а) Показать, что при больших k (т. еД > ? (в (1.3.33))
( k\ ід (k)
где q — преобразование Фурье функции q(x) и р(&) является коэффициентом отражения, определенным в (1.3.33—35).
(Ь) Сравнивая асимптотические решения уравнения КдФ и его линеаризации (П.1.49),показать, что пределы (/-^0, начальные условия 0) коммутируют (при отсутствии солитонов) всюду, кроме окрестности бесстолкновительной ударной волны. Другими словами, область ударной волны является существенно нелинейной; вне ее решения уравнения КдФ при отсутствии солитонов являются лишь слабонелинейными.Глава 2. МОЗР
в других постановках
2.1. Задачи рассеяния для операторов более высокого порядка и многомерные задачи рассеяния. До сих пор мы рассматривали только такие нелинейные эволюционные уравнения, которые связаны с операторами второго порядка. Захаров и Манаков (1973) [533] показали, что существуют интересные с точки зрения физических приложений уравнения, связанные с задачами рассеяния для операторов более высокого порядка. В частности, они показали, что хорошо известное уравнение трехвол-нового взаимодействия связано с задачей рассеяния для' оператора третьего порядка. Несколько позднее Kayn [259] и Захаров, Манаков [535] изучили соответствующую обратную задачу рассеяния и решения уравнений движения.
В этом разделе мы вначале покажем, как идеи разд. 1.2 можно без труда обобщить на случай задач более высокого порядка. Затем мы обсудим некоторые подробности, связанные с процедурой вывода уравнений обратной задачи рассеяния.
2.1. а. Вывод одномерных эволюционных уравнений. Мы начнем с матричной формулировки [8]:
и D, N, Q являются n X "-матрицами, причем D диагональна, D = dibij (diag(db dz, ..., dn)), di = const и N — такая матрица, что Nu = 0 (в действительности последнее предположение несущественно, но оно упрощает анализ). Из равенства производных Vxt = Vix, полученных перекрестным дифференцированием, и требования tt — 0 получим
(2.1.1а) (2.1.Ib)
vx = %Dv + N\, Vt = Qv1
где V является п X 1-матрицей (вектором)
(2.1.2)
Qx = Nt + iUD, Q] + [N, QJ2.1. Задачи на собственные значения
113