Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
OD x
lim ^ dk ^ dytf (у) cos ky, где <р (у)— пробная функция. Ис- Упражнения 107
пользуя это тождество, доказать, что
On a (I1), In b (У) = - 2. {hl_ ы + \ б (I1 -12),
(In а (!,)> In Ь (У) = 2/ Ь) + -J- б (I1 - У,
(а (У, a (У) = 0.
Используя (1.6.43а), показать, что
(P(W, P(h)) = 0 = (Q(h), Q(I2)), (p(h). Q(У) = o(Ii-У-
(e) Показать, что <1п Ь, In В> Ф 0. (Это просто сделать, воспользовавшись соотношением для вронскиана.)
(f) Продолжая Ь, b с вещественной оси, показать равенство нулю некоторых из оставшихся скобок Пуассона.
(g) б^т/б<7(х) непосредственно получается из того факта,что a = а (t,, q, г); таким образом,
. да ^ , да х .да ~ = ? ~dq~ У HF
По определению SQnfbq можно вычислить, потребовав б а = б г= = 0 и продолжив (1.6.39) с вещественной оси;
да
oS
-^y = -ф2 (X. Cm) t2 (X, Cm)-
*т
Вычислить ЬСт/Ьг, б?г/б<7, б?г/бг. Воспользоваться (1.6.43) и показать, что
{Pm, Q„) = Om,„, (Pk, Qi) = 6k, t
и что все остальные скобки Пуассона в (1.6.43) равны нулю. 2. Вывод (1.6.46) требует знания o#/6?m, б#/б?;. (а) Из (1.6.19) показать, что при Im ? > 0
J_ , JL Є
-Immv ъа J 1-і
а (In а) _ _
dim ~ I-Im ' 2яг J I-Sl-U - Sn
a (In а) _ 1
dh Z - Zl
(b) Разложить эти выражения при |?|->оо, Im ? > 0, и, воспользовавшись (1.6.6), показать, что
-^ = -2i(2iU)n, -^- = 2/(2?)".
(c) Воспользовавшись (1.6.38), показать, что бЯ 4M_(U. -If---4М_ (Ь).
6gm -'-Vbm/. ^ 108
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
3. (а) Каким условиям должны удовлетворять функции q, г для того, чтобы функции а, b, a, Б продолжались с вещественной оси?
(Ь) Каким условиям они должны удовлетворять, чтобы интеграл
существовал для всех n ^ 0 и, таким образом, существовали интегралы (1.6.21)?
(c) Пусть Л_(?) является полиномом. Каким условиям должны удовлетворять q, г, чтобы существовал интеграл (1.6.44)?
(d) При каких условиях мы можем использовать полиномиальные плотности законов сохранения (только) как переменные действия? Какие углы им соответствуют?
4. Уравнение sin-Гордон (1.2.3) обладает дисперсионным соотношением линеаризованной задачи со (A)= k~l, не удовлетворяющим (1.6.37). Несмотря на это, результаты этого раздела применимы, если aa(0) = 1.
(а) Показать, что (1.2.3)—гамильтонова система вида (1.6.31) с
(b) Показать, что преобразование (1.6.43) является каноническим.
(c) Записать гамильтониан в терминах этих переменных
5. Когда дисперсионное соотношение (1.5.16) является нечетной функцией уравнения допускают вещественные решения с ґ = ±q. Наложите эти ограничения на (1.5.16), чтобы q и г не изменялись независимо, и развейте аналогичную теорию для таких редуцированных уравнений.
(a) Покажите, что (1.5.16) теперь принимает вид (1.6.31).
(b) Покажите, что преобразование к подмножеству данных рассеяния является каноническим.
(c) Покажите, что имеются переменные типа действие — угол.
6. Имеются две интересные задачи, не совсем отвечающие определению вполне интегрируемых гамильтоновых систем, принятому в этой книге.
(а) Задача о самоиндуцированной прозрачности (СИП), обсуждающаяся в разд. П.2 и 4.4. Как там отмечается, функция a (S) не является не зависящей от времени, хотя расположение
OO
J In Inaa (S) d\
— OO
[370]. Упражнения
109
ее нулей от времени не зависит. Имеется только один полиномиальный закон сохранения. Тем не менее задача решается с помощью МОЗР. Это наводит на мысль, что либо МОЗР не ограничен вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами, либо следует расширить определение интегрируемости.
(Ь) Уравнения Бенни [56] для длинных волн, имеющие вид
Здесь и = и(х, у, t), A = h(x, і), причем —оо < х < оо, 0 < < у <С A, t ^ 0. Эти уравнения имеют бесконечное число зако-
нов сохранения, содержащих полиномы от \ ип dy. Более того,
в некотором смысле это уравнение является гамильтоновым, причем законы сохранения находятся в инволюции. Тем не менее Купершмидт и Манин показали, что:
(І) кроме найденных Бенни, нет локальных (по х, t) законов сохранения, содержащих только моменты функции и;
(II) этих полиномиальных сохраняющихся величин недостаточно для полной интегрируемости;
(III) по-видимому, нет солитонов.
За подробностями читатель может обратиться к работам [56], [380], [305], [351], [530].
Раздел 1.7
1. Линеаризация
(а) Показать, что в пределе малых q(х), г(х)
где г(I) — преобразование Фурье функции r(x), a b, b определены в (1.3.3). Воспользоваться Li-нормой, которая является естественной мерой малости в этой задаче.
(b) Показать, что асимптотическое решение нелинейного уравнения Шрёдингера переходит в этом пределе в решение линейного уравнения Шрёдингера, т. е. что [(1.7.4) с (1.7.20)]-»-
(П. 1.39). Что должно быть малым, чтобы этот предельный переход был справедлив? Какой следующий член в разложении? Переходит ли общее решение (1.7.2) в общее решение (П. 1.23) в пределе малых амплитуд?
(c) Рассмотрите нелинейный член в (1.7.2) как малое возмущение и решите (1.7.2), рассмотрев малое возмущение линей-
