Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(1.7.50) о
9 ~ -L (-Z)3'2.
Это решение должно сшиваться с решением в осцилляторной области.
Наконец, мы рассмотрим чисто осцилляторную область. В ней нет большого различия между поведением решений уравнений КдФ и мКдФ, и мы лишь приведем окончательный результат. Асимптотика решения уравнения (1.7.36) в этой области имеет вид
(1.7.51) и(х, () ~ (30-1'2^1/4(2d)cos9 — (3t)~lX~x,2(2d)2(\ — cos20), где
0 ~ 2tX312 - 2d2 In 3/ - 3d2 In Z + 0, x^-Jf d = d(x)' 0 = 0W-
Отметим, что любое решение этого вида имеет неосциллирую-щий член, который отрицателен и имеет порядок (3t)~lX~l/2. Та» 102
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
ким образом, для уравнения КдФ солитонам присуща «положительность», а излучение несет «отрицательную часть». Функции d(X), 8(Х) выражаются через коэффициент отражения p(k) следующим образом:
X = --L=4k\
^es-TJTlnO-IpWРЬ
(1J-52) 0 (X) = -j- - arg {р (Щ - arg {Г (1 - 2id2)} -
2 к
- 6d2 In 2 - 4 jj In (Ifqry) (d2)u dy.
о
Если |р(0)| < 1, это решение сшивается при с решением
(1.7.41), в целом решение качественно похоже на решение уравнения мКдФ и может быть получено по формуле (1.7.37). Если р(0) =—1, это решение сшивается при A—»-0 с решением (1.7.50). Типичное решение уравнения КдФ приведено на рис. 4.3, с. 326.
Это завершает анализ решений уравнения КдФ в случае отсутствия солитонов. Общее решение может содержать N солито-нов, но при t-*- оо каждый из них будет находиться в области, где оставшаяся часть решения экспоненциально мала. Таким образом, при t оо взаимодействие солитонов и несолитонной части (в главном порядке) отсутствует, и можно просто добавить N солитонов (все с центрами при х > 0) к решению, чтобы получить асимптотику общего решения. Затем следует уточнить сдвиги фаз, обсуждавшиеся в разд. 1.4. Абловиц и Кодама (1980) [14] построили асимптотическое решение, содержащее и соли-тоны, и непрерывный спектр. Они воспользовались jV-солитон-ным решением, в котором уже прекратились столкновения.
Наконец, сравним асимптотическое решение уравнения КдФ (1.7.36) и соответствующей линейной задачи (П. 1.49). В отличие от уравнения (1.7.2) и (1.7.23), точнее в отличие от результатов, относящихся к решению уравнений вида (1.5.16), для которых a(k) не имеет нулей при вещественных k, в случае уравнения КдФ два предела (f-»-oo и начальная амплитуда ->-0) не коммутируют между собой. В случае уравнения КдФ соли-тоны можно сделать произвольно малыми (в любой Lo-норме I=S^P =Ss00), но пределы не коммутируют даже в отсутствие' солитонов. В линейной задаче основная волна в асимптотическом
решении спадает со временем по закону /~"3, если ^udx Ф 0; в противном случае ( Kudx = Oj скорость спадания амплиту- Упражнения 103
ды этой волны равна (~213, если ^хийхф 0 и т. д. Но почти
для всех решений уравнения КдФ независимо от их малости р(0) = —1, и скорость асимптотического спадания главного импульса имеет порядок (In t/t)2'3, согласно (1.7.46). Таким образом, асимптотическое поведение двух решений в этой области различно. Кроме того, за исключением особого случая
udx = 0, наименьшая скорость спадания равна t~m для ре
.-1/2
шения линеинои задачи и f для соответствующих решении уравнения КдФ.
Упражнения
Раздел 1.1
1. (а) Показать, что (1.1.2) получается из (1.1.1) при (А-> -*0).
(b) Какие члены пропорциональны /г4; eh2?
(c) Что произойдет при є/Я2 <С 1; є/h2 1?
2. Задано К(и) в (1.1.5) и M(v) в (1.1.7). Показать, что если и = — (о2 + vx), то
*(и) = -(20 + -^)^(0).
3. Задано (1.1.11 — 13). Проверить, что условие tytxx = ^xxt приводит к (1.1.14) и поэтому К{и) = О в том и только в том случае, когда Kt = 0.
Раздел 1.2
1. Вывести (1.2.13) из (1.2.8).
2. (а) Найти точное решение (1.2.8) для разложения А, В,
5
С пятого порядка, т. е. А = ? и т. д. Какое нелинейное
о
уравнение возникнет при г = q, когда произвольные константы выбраны так, чтобы линеаризованное уравнение имело вид [5/ + (^)5] о = О?
(b) Найти решение (1.2.21), выраженное через разложения
2
(А, В) второго порядка, т. е. Л = X апЯЛ Какое получится не-
о
линейное эволюционное уравнение, линеаризация которого имеет вид [dt + {dxy\u = О?
(c) Показать, что эти уравнения связаны преобразованием Миуры
и = —о2 — Vx.
Раздел 1.3
1. Используя (1.3.3, 4), показать, что ¦ф = аф + 6ф, т|з = = Ь ф — аф. 104
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
2. Пусть функции г, q в (1.2.7а) удовлетворяют неравенствам I г (л:) I, I q (X) I < Се~2К 1 *1 для некоторых С, К > 0. Доказать, что в этом случае функция a (S) аналитична для Im ?> > — К, b(Q, ft (S) аналитичны при |Img|</C, и a (S) аналитична при Im S < К-
3. (а) Почему условие г = -\-q* є L1 гарантирует отсутствие дискретных собственных значений задачи (1.2.7а) при Im ? > О?
(Ь) Используя (1.3.4, 14), показать, что при r = -\-q* |а|2>1 при Im(^) = O. Доказать, что а(?)Ф 0 при Im(S)^O, если г = +q*.
4. При г = —q* є L1 в (1.2.7а) было показано, что условие (1.3.1 бе) является достаточным, чтобы гарантировать неравенство а (S) 0 при Im(S)^O. Допустим, что г = —q — вещественная функция. Решите уравнение (1.2.7а) при S = 0 в явном
