Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
В. Е. Захаров Посвящается Кэрол и Инид
Пролог
Основная тема этой книги может быть сформулирована довольно просто: некоторые нелинейные задачи имеют удивительно простую скрытую структуру, и их решения можно получить при помощи методов линейной теории. Как правило, такие задачи формулируются в виде эволюционных уравнений, описывающих эволюцию некоторой величины (или набора величин) во времени при заданных начальных данных. Уравнения могут принимать различный вид: дифференциальные уравнения в частных производных, дифференциально-разностные уравнения (дискретное пространство, непрерывное время), уравнения в конечных разностях (время и пространство дискретны), интегро-дифференци-альные уравнения и системы обыкновенных дифференциальных уравнений (конечного порядка). На самом деле удивительно, что можно найти общее решение этих уравнений, являющееся результатом эволюции произвольных начальных данных (принадлежащих подходящему классу), не делая никаких приближений, хотя задачи являются нелинейными. И вероятно, столь же удивительно то, что некоторые из этих точно решаемых задач естественно возникают в качестве моделей определенных физических явлений. Эти приложения способствовали возрастанию интереса к предмету.
В настоящее время есть несколько общепринятых точек зрения на эти точно решаемые задачи. Согласно одной из них, главной целью анализа является решение соответствующей задачи с начальными условиями. Это решение строится при помощи метода обратной задачи рассеяния (МОЗР), который подробно описан в гл. 1 и 2. Его можно рассматривать как обобщение метода преобразования Фурье, который обычно применяется для решения линейных задач.
Рассматриваемые задачи обладают чрезвычайно богатой внутренней структурой, и это позволяет рассматривать их с различных точек зрения, не обязательно связанных с МОЗР. Некоторые из них обсуждаются в гл. 3. Многие такие подходы более удобны, если нас интересуют частные решения, например соли-тоны, а не общее решение задачи с начальными условиями. Ряд физических приложений подробно обсуждается в гл. 4. 10
Пролог
Ценность метода обратной задачи рассеяния состоит в том, что он позволяет исследовать нелинейную задачу по существу методами линейной теории. Но это преимущество, конечно, могут вполне оценить только те, кто уже знаком-с линейной теорией и ее результатами. Поскольку линейная теория играет .фундаментальную роль, мы добавили приложение, посвященное линейным задачам и их решениям. Они очень полезны для сравнения с решениями соответствующих нелинейных задач, которые являются предметом этой книги.
Прежде чем приступать к изложению, хотелось бы высказать здесь наши пожелания о порядке чтения материала. Приложение содержит предварительные сведения, иногда вовсе нетривиальные. Именно с него следует начать чтение тем, кто не знаком с методом преобразования Фурье. Мы добавили некоторое количество'весьма простых упражнений в конце приложения.
Глава 1 является фундаментальной. Остальные главы основаны на материале этой главы, и мы на нее постоянно ссылаемся. Главу 1 мы рекомендуем прочесть целиком.
После освоения гл. 1 имеется много вариантов. Главы 2, 3 и 4 зависят от главы 1, но практически независимы друг от друга. Их можно читать в любом порядке. Разделы внутри каждой главы также можно считать независимыми. Это позволяет читателю сравнительно быстро разобраться с заинтересовавшей его-частной проблемой.
Наконец, несколько слов об упражнениях. Они имеют широкий диапазон по трудности: от восстановления пропущенных шагов в доказательстве до исследовательских задач, которые, насколько нам известно, до сих пор не решены. Формулировки задач обычно подсказывают читателю, какие из этих проблем пока остаются открытыми. Глава I. Обратная задача
рассеяния на бесконечном интервале
1.1. Введение. В 1965 г. Забужский и Краскал [523] обнаружили, что решение уравнения Кортевега — де Фриза (КдФ), представляющее собой уединенную волну, обладает свойством, которое не было известно прежде: а именно, такое решение «упруго» взаимодействует с другим таким же решением. Они назвали эти решения солитонами. Вскоре после этого открытия Гарднер и др. (1967) [172, 173] стали первооткрывателями нового метода математической физики. Точнее говоря, они изобрели метод решения уравнения КдФ, использующий идеи прямой и обратной задачи рассеяния. Лаке (1968) [318] существенно обобщил их идеи, а Захаров и Шабат (1971) [544] показали, что этот метод приложим и к другому уравнению, важному для физических приложений, — нелинейному уравнению Шрёдингера. Используя эти идеи, Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сигур (1973—1974) [11, 12] разработали метод, позволяющий найти существенно более широкий класс нелинейных эволюционных уравнений, которые можно решать, воспользовавшись прямой и обратной задачей рассеяния. Они назвали эту процедуру «преобразованием обратной задачи рассеяния»1). (Ниже будет употребляться- выражение «метод обратной задачи рассеяния» (МОЗР).)
Настоящая монография посвящена солитонам и МОЗР. Многочисленные достижения в этой области привлекли к себе внимание многих математиков, физиков и инженеров. Мы надеемся, что, собрав наиболее важные идеи этой теории и изложив их в одной книге, мы принесем пользу и начинающим, и «профессионалам». Основные трудности при этом связаны с чрезвычайно интенсивным развитием теории, продолжающимся и по сей день.
