Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 29

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 164 >> Следующая


(И) информация распространяется с групповой скоростью, вычисленной по закону дисперсии линейного уравнения со =k2= = (-2S)2.

Во-вторых, в пределе малых амплитуд (в (1.7.20) О равномерно по х) можно показать, что b*(|) -> —2|) и что асимптотическое решение нелинейной задачи в точности сводится к решению линейной (см. упр. 1). Таким образом, для решений 1.7. Поведение решений на больших временах

93

уравнения (1.7.2) два предела (/-» оо и 0)|й?л:->0) ком-

мутируют между собой. Нелинейность приводит лишь к тому, что фаза содержит члены порядка In a g глобально зависит от данных рассеяния.

Общее решение уравнения (1.7.2) при с = — 1 содержит и со-литоны, и несолитонную часть. В случае нелинейного уравнения Шрёдингера солитоны движутся на фоне излучения, и их взаимодействие с фоном может оказаться важным. Используя законы сохранения, Сигур [454] нашел асимптотическое (при -*¦ оо) решение уравнения (1.7.2) с а = —1 в простейшем случае, когда данные рассеяния содержат лишь одно дискретное собственное значение и непрерывный спектр. Главный вклад имеет вид

q (х, 0 ~ 2г) ехр (г'ф)/сЬ ф +

-U ГЩ ( Х \ ГотпИЙИ (I + х/41 + /ті th ?)2 ,

(1.7.22) HTJ Lexp(г/е) +ч2 +

+ exP (2/(Р - Ch^ .((І + ^/40 V)] + ° где (I + tri) — дискретное собственное значение, Ф = -2[^ + 2(|2-л2)/] + Ф, ф = 2т)(* + 4|/) + І

П-т)=^ + Ii-^fl-

Первый член в (1.7.22) —это просто обычный солитон. Второй член представляет собой излучение (с поправками в окрестности солитона), а третий член можно рассматривать как результат взаимодействия между этими двумя компонентами. Этот результат был получен только при помощи законов сохранения, поэтому фазы (а точнее, функции ф, ф) остались неопределенными. В частности, полный сдвиг фазы солитона (от t = —оо до t — = +оо) вследствие взаимодействия с излучением нельзя определить этим методом.

1.7. Ь. Модифицированное уравнение Кортевега —де Фриза.

Для мКдФ

(1.7.23) ot — 6 av2vx + Vxxx = О, а = ± 1

дисперсионное соотношение линеаризованной задачи (ш =. = —kz) является нечетной функцией, так что групповая скорость dto/dk = -Sk2 имеет одинаковый знак для всех вещее г- 94

1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале

венных k. Поэтому расплывающиеся осцилляции, покрывавшие всю ось X в случае асимптотического решения уравнения (1.7.2), теперь сосредоточены в области х <С 0. Это вовсе не удивительно— аналогичный результат имеет место и для линеаризованного уравнения мКдФ (см. разд. П.1), но приводит к необходимости проведения отдельного анализа асимптотики при х > 0.

Для того чтобы исключить солитоны при а = —1, мы снова потребуем выполнения условия (1.7.1) для начальных данных уравнения (1.7.23). Чтобы иметь возможность продолжить функцию 6(6, 0) с вещественной оси, мы потребуем в этой задаче достаточно быстрого убывания начальных данных при больших х.

Линейное интегральное уравнение для (1.7.23) можно записать в виде

(1.7.24) Kixt у, t) + oF(x + y, 0 =

OO OO

= a jj jj К (х, г; () F (z + s; і) F (s + у; і) dzds, у > х,

x x

где

OO

F(X) O = ^r J 4 (S) exp {Цх + 8?3*}*?

— 00

и

V (х, t) = —2К (х, х; ()•

Функция F(2x,t) удовлетворяет линеаризованному уравнению мКдФ, ее асимптотическое поведение (при t-> оо) известно (см. разд. П.1).

В частности, при х » (3/)1/3

(1.7.25) F (Х; О ~ exP (-2tk^

где г (6) = (b;'a) (I) и k2 = rXjQt. В этой области К(х, у\ i) ~ —oF(x + y\ t),

а интегральный член в (1.7.24) экспоненциально мал. Таким образом, при X > (301/3

(1.7.26) vixt

Это представление становится несправедливым при x/t-+-0. Для того чтобы найти представление в этой области, мы запишем

OO

» = S г (-^«р 1*2/2 +W(S)-Ix1 1.7. Поведение решений на больших временах 95

где "Z = yj(3t)m. Разложив г (I) в ряд Тейлора вблизи S = O и переходя к пределу ¦/-> оо, x/t-> 0, причем Z = хДЗ/)1'3-» OO1 получим

(1.7.27) au (х, () ~ (30"1/3 г (O) Ai (Z) - (30~2/3/ -^f1 Ai' (Z) +



где Ai(Z)—функция Эйри. Это наводит на мысль, что в области IXI :? 0((3t)l/3) нам следует искать приближенное решение уравнения (1.7.23) в виде

(1.7.28) о (х, /) ~ (3/),/3 w (Z) + (3t)2'3 W1 (Z) + ...,

где w(t) удовлетворяет второму уравнению Пенлеве (см. разд. 3.7)

(1.7.29) -~- = Zw + 2ow3 с граничным условием

(1.7.30) w (Z) or (O)Ai (Z) при Z-> + oo.

Нелинейность уравнения (1.7.29) означает, что решение в промежуточной области M < О((301/3) остается нелинейным при t —> оо, хотя его амплитуда стремится в этом пределе к нулю. Такая нелинейная область существует для любого решения уравнения мКдФ, если /"(0) ф 0.

В точке ? = 0 можно найти явное решение задачи рассеяния (1.2.7а): при 0 = +1

Фі (х, 0) = ch( \ vdx J, ^2 = Sh

так что

г(0)

Аналогично получим для ст = —1 г(0)

[ ^ vdxj, ^2 = Shf ^ vdxj,

^-OO J ^—CXD '

= thM vdxj.

>_oo '

= —1

= —tg( ^ vdxj.

> _ OO '

Однако функция v должна быть абсолютно интегрируемой (см. разд. 1.3), поэтому

(1.7.31) |r(0)|< 1 для а = + 1, |г(0)|< оо Для а= — 1.
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 164 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed