Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(И) информация распространяется с групповой скоростью, вычисленной по закону дисперсии линейного уравнения со =k2= = (-2S)2.
Во-вторых, в пределе малых амплитуд (в (1.7.20) О равномерно по х) можно показать, что b*(|) -> —2|) и что асимптотическое решение нелинейной задачи в точности сводится к решению линейной (см. упр. 1). Таким образом, для решений 1.7. Поведение решений на больших временах
93
уравнения (1.7.2) два предела (/-» оо и 0)|й?л:->0) ком-
мутируют между собой. Нелинейность приводит лишь к тому, что фаза содержит члены порядка In a g глобально зависит от данных рассеяния.
Общее решение уравнения (1.7.2) при с = — 1 содержит и со-литоны, и несолитонную часть. В случае нелинейного уравнения Шрёдингера солитоны движутся на фоне излучения, и их взаимодействие с фоном может оказаться важным. Используя законы сохранения, Сигур [454] нашел асимптотическое (при -*¦ оо) решение уравнения (1.7.2) с а = —1 в простейшем случае, когда данные рассеяния содержат лишь одно дискретное собственное значение и непрерывный спектр. Главный вклад имеет вид
q (х, 0 ~ 2г) ехр (г'ф)/сЬ ф +
-U ГЩ ( Х \ ГотпИЙИ (I + х/41 + /ті th ?)2 ,
(1.7.22) HTJ Lexp(г/е) +ч2 +
+ exP (2/(Р - Ch^ .((І + ^/40 V)] + ° где (I + tri) — дискретное собственное значение, Ф = -2[^ + 2(|2-л2)/] + Ф, ф = 2т)(* + 4|/) + І
П-т)=^ + Ii-^fl-
Первый член в (1.7.22) —это просто обычный солитон. Второй член представляет собой излучение (с поправками в окрестности солитона), а третий член можно рассматривать как результат взаимодействия между этими двумя компонентами. Этот результат был получен только при помощи законов сохранения, поэтому фазы (а точнее, функции ф, ф) остались неопределенными. В частности, полный сдвиг фазы солитона (от t = —оо до t — = +оо) вследствие взаимодействия с излучением нельзя определить этим методом.
1.7. Ь. Модифицированное уравнение Кортевега —де Фриза.
Для мКдФ
(1.7.23) ot — 6 av2vx + Vxxx = О, а = ± 1
дисперсионное соотношение линеаризованной задачи (ш =. = —kz) является нечетной функцией, так что групповая скорость dto/dk = -Sk2 имеет одинаковый знак для всех вещее г- 94
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
венных k. Поэтому расплывающиеся осцилляции, покрывавшие всю ось X в случае асимптотического решения уравнения (1.7.2), теперь сосредоточены в области х <С 0. Это вовсе не удивительно— аналогичный результат имеет место и для линеаризованного уравнения мКдФ (см. разд. П.1), но приводит к необходимости проведения отдельного анализа асимптотики при х > 0.
Для того чтобы исключить солитоны при а = —1, мы снова потребуем выполнения условия (1.7.1) для начальных данных уравнения (1.7.23). Чтобы иметь возможность продолжить функцию 6(6, 0) с вещественной оси, мы потребуем в этой задаче достаточно быстрого убывания начальных данных при больших х.
Линейное интегральное уравнение для (1.7.23) можно записать в виде
(1.7.24) Kixt у, t) + oF(x + y, 0 =
OO OO
= a jj jj К (х, г; () F (z + s; і) F (s + у; і) dzds, у > х,
x x
где
OO
F(X) O = ^r J 4 (S) exp {Цх + 8?3*}*?
— 00
и
V (х, t) = —2К (х, х; ()•
Функция F(2x,t) удовлетворяет линеаризованному уравнению мКдФ, ее асимптотическое поведение (при t-> оо) известно (см. разд. П.1).
В частности, при х » (3/)1/3
(1.7.25) F (Х; О ~ exP (-2tk^
где г (6) = (b;'a) (I) и k2 = rXjQt. В этой области К(х, у\ i) ~ —oF(x + y\ t),
а интегральный член в (1.7.24) экспоненциально мал. Таким образом, при X > (301/3
(1.7.26) vixt
Это представление становится несправедливым при x/t-+-0. Для того чтобы найти представление в этой области, мы запишем
OO
» = S г (-^«р 1*2/2 +W(S)-Ix1 1.7. Поведение решений на больших временах 95
где "Z = yj(3t)m. Разложив г (I) в ряд Тейлора вблизи S = O и переходя к пределу ¦/-> оо, x/t-> 0, причем Z = хДЗ/)1'3-» OO1 получим
(1.7.27) au (х, () ~ (30"1/3 г (O) Ai (Z) - (30~2/3/ -^f1 Ai' (Z) +
где Ai(Z)—функция Эйри. Это наводит на мысль, что в области IXI :? 0((3t)l/3) нам следует искать приближенное решение уравнения (1.7.23) в виде
(1.7.28) о (х, /) ~ (3/),/3 w (Z) + (3t)2'3 W1 (Z) + ...,
где w(t) удовлетворяет второму уравнению Пенлеве (см. разд. 3.7)
(1.7.29) -~- = Zw + 2ow3 с граничным условием
(1.7.30) w (Z) or (O)Ai (Z) при Z-> + oo.
Нелинейность уравнения (1.7.29) означает, что решение в промежуточной области M < О((301/3) остается нелинейным при t —> оо, хотя его амплитуда стремится в этом пределе к нулю. Такая нелинейная область существует для любого решения уравнения мКдФ, если /"(0) ф 0.
В точке ? = 0 можно найти явное решение задачи рассеяния (1.2.7а): при 0 = +1
Фі (х, 0) = ch( \ vdx J, ^2 = Sh
так что
г(0)
Аналогично получим для ст = —1 г(0)
[ ^ vdxj, ^2 = Shf ^ vdxj,
^-OO J ^—CXD '
= thM vdxj.
>_oo '
= —1
= —tg( ^ vdxj.
> _ OO '
Однако функция v должна быть абсолютно интегрируемой (см. разд. 1.3), поэтому
(1.7.31) |r(0)|< 1 для а = + 1, |г(0)|< оо Для а= — 1.
