Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
°'7'8) Р(А) = ^1п|аа)Р = -^г1п{1-а||-(|)|2}.
Главный вклад в асимптотику решения уравнения (1.7.2) дается формулой (1.7.4) с учетом (1.7.8), хотя при этом функция g(x/t) осталась неопределенной. Во многих прикладных задачах измерить фазу бывает существенно труднее, чем «интенсивность» (=|f|2) волны. Для практических целей в таких задачах нет необходимости знать функцию g.
Приведенным методом формула (1.7.8) была получена в работе Сигура и Абловица (1976) [456]. Манаков (1974) [345, 346] и Захаров, Манаков (1976) [535, 536] получили ее, используя два других метода. В дополнение к методу, основанному на законах сохранения, мы кратко приведем (несколько видоизме- 1.7. Поведение решений на больших временах 89
ненный) метод Захарова и Манакова, поскольку он позволяет определить обе функции / и g в терминах данных рассеяния. Для вещественных і определим
Wi (х, t\ і) = Фі(*. t; І) ехр (i\x), W2 = ф2(*, t\ g)cxp(—Цх), при этом задача рассеяния (1.2.7а) превращается в
(1.7.9) {w\)x = qw2eblx, (w2)x = — aq\\e~2llx с граничными условиями
С)(і) при А' ^ ~ С)(bi\) при +
Если q удовлетворяет (1.7.2), то
(1.7.10) Ь(1, i) = b (I, 0) exp (4t|20 = b (I) exp (4/g2/).
Опять мы предположим, что при t -V оо решение уравнения (1.7.2) стремится к виду (1.7.4). Подставим (1.7.4) в (1.7.9), при этом в главном порядке
(Wl)x ~ r1/2/(-f) W\ exp {—Ш - 2Цх},
(1 "7 1(W2)x ~ а/-"2 / (-у-) W1 ехр {-Ш - 2Цх}
с этими же граничными условиями. Далее мы будем предполагать, что x/t ^ 0(1) при t V оо, и пренебрегать членами порядка 0(\nt/t) в (1.7.11). Для фиксированного и достаточно большого t (1.7.11) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений с быстрым (tQ + 2|х) и медленным (x/t) масштабами. Мы воспользуемся методом ВКБ. Итак, мы ищем решение (1.7.11) в виде
(1.7.12) W1 (X, /; Ю = даг,о(Ф, X) +C112W1, ,(^1 X) + О (-j^, Г1), где
X=J-, о|) = /9 + 2|х, 1 = 1, 2, 0 дается формулой (1.7.4).
Таким образом,
дх -> + Xxdx ~ (^rX + 2g) д+ + Г'дк.
Если (Х/2 -f 2?) ф 0, то, переходя в (1.7.11) к главному порядку, получим
(wu о) ~ 0, (ш2> о) ~ О, 91 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
так что для і = 1,2
(1-7.13) Wlo = Wuo(X),
В порядке Гт имеем
(4 * + 21) ^ (Ю,,,) ~ f (X) w2. о (X) е (f * + 2|) d* (w2, і)~ст f(X) wu о (X) е
гч>
і
¦іф
Опуская однородные члены, мы получим ,, if (X) w2, о (X)
(jr*+n)
(L7,I4) ,, V4 iof (X) »,., (X) W2,1 (Ф, X) ~ j-—e
Секулярные члены возникают в порядке 0(t~l), где (1.7.9) приводит к
(Х/2 + 2|) ду (wu 2) ~ fw2, — дх (wu о), (Х/2 + 21) д^ (w2,2) ~ Ofwl, ^-'1" — дх (w2.0).
Подстановка (1.7.14) в эти соотношения показывает, что исключение секулярных членов в этом порядке требует (при Х/2 -f + 2g Ф 0)
iof2Wlt D iof2W2, о
Ox (Wuo) -. дх (w2,0) ~ — .
-j-X + 2% А/2+ ^
Эти соотношения можно проинтегрировать и определить константы интегрирования из граничных условий для wu w2. Таким образом, при (Х/2 + 2?) < 0
(1.7.15а) ц>і,о(.У) = ехр Iio \ .f^ dX w3l0 ~0,
j у+ 21 J
а при Х/2 + 2\ > 0
(1.7.15b) Wuо(X) = а (?)ехрj—/а -Jij^ tf J, (1.7.15с) w2,0(X) = b(l, Oexpjto J 1.7. Поведение решений на больших временах 91
Эти формулы несправедливы в окрестности Х/2 + 26 = 0, в которой требуется разложение, отличающееся от (1.7.12). Из
(1.7.15) при (—4|)
w, „ m ~ I Л- -4- 4112l0fO exn ^ —2ia
(1.7.16)
a>1>0W~U + 46|2,of»exp|-2/a J (f\ In | у + 4|
Щ, о (X) ~ o, а при 46)
(1.7.17)
W2,
(6) (*+4|)2!'afo exp I—2/cr J (J3)11 In (y + 46) dy}, ,o(X)~b(l, 2iofOexp2/a jj {f)y\n(y+4l)dy},
wL0 (Z) ~ a
45
где /о = /(-46).
При (X/2 + 2|) = 0 положим
= 4|/,
(1.7.18) X20 p2
?0 = /8 + 26л: ~ + 26? - 2a/o In I + g (-46)
(отметим, что g появилось впервые в этом месте). Вблизи Х/2 + + 26 = 0, воспользовавшись разложением в ряд Тейлора, получим
Ч>(*. О ~ ^o + (х ~4tXo)2 • В этой области мы определим
Z = x^J0, Wl = Wi(Z) t),
так что (1.7.9) превращается в
(W1)2 ~ д/2 fQw2 exp |п|з0 + ,
(1.7.19) ,
(ш2)2 ~ V2 crfo^'i exp | — /ф0--2~|.
Общее решение уравнений (1.7.19) можно выразить через функции параболического цилиндра. Оно должно переходить в (1.7.16) при Z-*-—оо н в (1.7.17) при Z-*-+ оо. Опуская детали 92
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
вычисления, мы приведем результат:
/•(-f) = ^ln I а (6) г = /8,
g (-г) = - arg {~ab & °)} + X - ar^ 0 - 2i^) +
(1.7.20) -«
+ 2а/о In 2 — 2а \ In | у + 4g \ (f2)y dy +
— OO
OO
+ 2а J In (г, + 41) (f\dy. -41
Эти формулы вместе с (1.7.4) дают асимптотическое разложение решения уравнения (1.7.2) в пределе оо. Их можно переписать, выразив через (b/a) (S): при x/t = —4?
«(Я —««{—г®} + -т-
(I-7-2l) - arg {г (1 - 2 юр (i))} + 2 „/» (f) [„ 2 +
OO
+ 4(т J \n(y + 4t)(f%dy. -il
Мы видели (в разд. 1.4), что солитоны несомненно являются нелинейными образованиями, их невозможно линеаризовать. С другой стороны, часто можно слышать утверждения, что несолитон-ная часть решения, которую мы только что рассматривали, качественно ведет себя так же, как решения линеаризованной задачи. Теперь мы можем проверить это утверждение, основываясь на асимптотических решениях линеаризованной задачи (П.1.39) и (1.7.4) с учетом (1.7.20). Во-первых, отметим тот факт, что в обоих случаях наиболее важные свойства решений следующие: (і) огибающая убывает по закону /-1/2;
