Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
я|) —>0 при I л: I —> оо,
U (х) — заданная вещественная функция, U (х) е L2 f] L1, X(O), "ф (лг, 0) заданы, 1|)(*> 0).єі2.
С различных точек зрения она была проанализирована в работах [503], [74]. Ее можно проанализировать точно так же, как модель (П.2.1).
дх dt
і -г.г:
д% і д2Ф dt dx2 440 Приложение. Линейные задачи
(a) Покажите, что интеграл энергии для этой задачи имеет
вид
IjcWI2+$ Ж*. t)fdx.
(b) Вычислив преобразование Фурье и исключив % (со), покажите, что со подчиняется квадратному уравнению, коэффициенты которого вещественны при вещественных k, и при этом его корни также вещественны (т. е. вещественные k =>- вещественные со).
(c) Покажите, что у этой задачи нет дисперсионного соотношения.
(d) Выразите г|)(д;, t) через %(t). Покажите, что в случае ?(*, 0) = 0 функция %(t) удовлетворяет уравнению
t
-?-=-J/С(/-т)х(т)dt, о
где
K(y) = ^r\U(k)U(-k)e-i*«dk.
(e) Решите это интегро-дифференциальное уравнение методом преобразования Лапласа. Покажите, что единственная особенность в обратном преобразовании возникает на мнимой оси.
(f) Вычислите асимптотическую скорость убывания функции x(t) при t-^oo. Существует ли потенциал U(x), для которого нет распада? Какое асимптотическое поведение имеет функция г|)(д;, t)?
(g) Что происходит при t -»—оо?
3. Линеаризованное уравнение Бенджамина — Оно имеет вид
OO
ir+i&i іт=^и{у' оау=°-
-OO
(a) Найдите интеграл энергии.
(b) Покажите, что это интегро-дифференциальное уравнение имеет следующее дисперсионное соотношение:
<D+ft|ft| = 0.
(c) Покажите, что более общее интегро-дифференциальное уравнение
T+ о
— OO
имеет дисперсионное соотношение [505, гл. 11]. Упражнения
441
(d) Покажите, что интегральный член в (П.2.10) имеет вид свертки.
4. Опишите поведение поля E в (П.2.42) при а > 0; при а = 0. Что вы можете сказать о поведении Л?
5. Линеаризованное уравнение Власова для бесстолкновительной плазмы в одномерном случае имеет вид
/->0 при |*|->оо.
(Все интегралы берутся от —®о до +сю.) Здесь {.F(f) +f(x, v, /)}—функция распределения электронов по скоростям, причем |f| <С F. Функция F является неотрицательной, a f может
иметь оба знака. Число электронов в равновесии п = ^ Fdv. Функция E(x,t) обозначает среднее (возмущение) напряженности электромагнитного поля, а е и m обозначают заряд и массу электрона.
(а) Линеаризованное уравнение имеет бесконечно много законов сохранения. Покажите, что
vfdv (сохранение возмущенного за-
(\u2fduj + f\n3fdoJ =0 (сохранение возмущенной ки-J /f J * нетической энергии),
+ ш2е = 0,
It1 р XX '
где є = ^ E dx, со2 = 4япе2/т. (Бесконечный набор законов сохранения описан в работах Краскала и Обермана [299] и Кэйса [92].)
Отметим, что ни один из этих законов сохранения не является положительно определенным. Последнее уравнение означает, что є осциллирует с плазменной частотой а>р, т. е. є можно считать аналогом ^ Tdx в уравнении теплопроводности. (Ь) Найдите решения вида
Ex = - (4яе) ^f dv, — оо < х, V < оо, t > 0,
ряда),
Покажите, что
таким образом, ю вещественна при вещественных k. 442 Приложение. Линейные задачи
(c) Покажите, что это уравнение не имеет дисперсионного соотношения [489].
(d) Найдите преобразование Фурье — Лапласа для этой задачи. Покажите, что самая правая сингулярность на комплексной плоскости р определяется решением уравнения
tn J V + o)/?
и
при k > 0 и to = ip. Приближенное решение Ландау [315] этого уравнения имеет вид ю = сог + іац, где
со, С d2F ( Ю, )-1 dE ( со \
-ТІ ^rI0+-^} ^ = ^(--1Й-
6. (а) Используя ряды Фурье, найдите решения следующей задачи:
ф t + «Р* = ЦФ**, 0 <х< L, t > О, <р(О,0=1, с<0, ц>0, <p(L, /) = 0,
L
ф(д:, 0) задано и вещественно, причем J<p2cu:< оо.
о
(b) В пределе L-* оо перейдите к интегралу Фурье. Постройте пример, показывающий, что при t = 0 это «решение» не может представить произвольную функцию из 0, оо). Покажите, что интеграл Фурье представляет истинное решение, если начальные данные удовлетворяют одновременно двум неравенствам
OO OO
J I ф I gl 01 *А2|») dx < оо, J |ф PeIcIjc^dJC < оо.
о о
(c) Это пример, в котором набор мод, возникших при разделении переменных, не является полным. Используя преобразование Лапласа, найдите общее решение этой задачи для начальных данных, удовлетворяющих неравенствам
OO OO
^ I Ф I rfjc < OO И J I ф I2 йл: < оо.
о о
7. Задача об устойчивости двумерного невязкого плоского течения Куэтта (впервые правильно рассмотренная Кэйсом [91]) Упражнения
443
является замечательным примером неполноты собственных мод, полученных при разделении переменных. В этой задаче невозмущенное поле скорости имеет вид
и0(х, у, i) = у, 0<у< 1, D0 = O.
Вот уравнения, описывающие малые отклонения от этого состояния:
ди , ди . _ др
If^y ~дх~ + v — — дх '
dv , dv _ _ др
~дТ "т" У дх ~ — ду '
ди , ди __
дх + ду ~U
с граничными условиями
v(y = 0) = v(y=l) = 0.
Найдите решение этой задачи в виде
