Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 142

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 164 >> Следующая


Вернемся к общему случаю (П.2.38). Оказывается, что после исключения Л из уравнений поляризации (П.2.38) имеет дисперсионное соотношение для любого уширения g(а). Чтобы увидеть это, воспользуемся преобразованием Лапласа по т:

(П.2.43)

Ex (х, р) = -Е(х, p)G(p), 434

Приложение. Линейные задачи

где G(p)—аналитическая функция для Re(p)> 0, имеющая точное представление в виде

0W-STfi^rfc

— OO

Заметим, что для Re(p) > О контур интегрирования проходит ниже точки сингулярности a = ip/2. Решая (П.2.43) и совершая обратное преобразование, получаем

(П.2.44а) E (х, т) = X- J E (0, р) exp {рх - G (р) х} dp,

с

где С обозначает контур Бромвича. Функция Е(0,р) не может иметь сингулярностей для Re(p) > 0, потому что ?(0, т) стремится к нулю при т —*¦ оо. Таким образом, контур в (П.2.44а) можно сдвинуть к мнимой оси и положить р = /со, если мы одновременно деформируем контур интегрирования по а так, чтобы он оставался под сингулярностью. В результате получаем

OO

(П.2.44Ь) т) = Х J E (0, — /со) ехр {— /сот — G (— /со) х} da>.

»00

Соответствующее дисперсионное соотношение имеет вид

(П.2.45) к (со) = IG (- /со) = J -XX- da,

и

где контур U обходит сингулярность снизу. В частности, (П.2.46) Im(fc) = -f-g(X).

(і) Ввиду того что g(a) неотрицательна, не существует неустойчивых мод.

(H) Если g(cc) > 0, как в случае (П.2.39), то все моды затухают. При этом J \E\2dx->-0, когда х->оо; Е(х, т) также может затухать поточечно, при я->-оо, однако, как это было в (П.2.42), такое затухание имеет место не всегда.

(ІІІ) Если g(a) 0, некоторые моды затухают, остальные являются нейтральными. Асимптотическое поведение E (х->оо) определяется незатухающими диспергирующими модами.

Это завершает обсуждение линеаризованных уравнений самоиндуцированной прозрачности. В гл. 4 мы видели, что в нелинейной задаче часть решения, соответствующая непрерывному спектру, ведет себя качественно как линеаризованное решение. Поведение солитона, конечно, от него отличается. Упражнения 435

В физике существует ряд других линейных задач, не имеющих дисперсионного соотношения. Две из них обсуждаются в упр. 2 и 5. Как упоминалось ранее, даже если в линейной задаче есть дисперсионное соотношение, но набор мод не является полным, то метод Фурье обречен на неудачу. Здесь этот вопрос обсуждаться не будет. Однако такой пример приводится в упр. 6 и 7.

Упражнения

Раздел П.1

1. (а) Методом преобразования Фурье найти решение уравнения Шрёдингера (П. 1.23—25) (пример 1) с начальным условием

!а, 1*1<4г.

О, 1*1>-зг.

т. е. известно, что в начальный момент частица находится внутри интервала шириной 2/а2.

(b) Покажите, что после разворота кодтура можно дифференцировать под знаком интеграла.

(c) Указать область, в которой частица находится с подавляющей вероятностью при t -*¦ оо.

2. Решите это же уравнение с начальным условием

ЧЦх) = ае-« 1*1.

При оо вычислите интеграл Фурье методом перевала. Покажите, что в дополнение к (П. 1.39) может возникнуть вклад, связанный с одним из полюсов функции Ч* (к) и зависящий от x/t. Как этот дополнительный вклад отражается на асимптотическом поведении функции ф? Какова вероятностная интерпретация этого вклада?

3. Решите уравнение теплопроводности:

Tt = iHTxx, х>0, t> 0, и > О, T = О при JC = O,

T-* 0 при X ~+оо,

„ ( I, X < L, Т(х, / = 0) = < '

I 0, х > L.

При <>0в точке максимума (по ж) температуры имеем Tx = = 0. Найдите приближенную формулу, описывающую расположение этого максимума x(t) при t~* оо. С какого момента эта формула применима? Остается ли x(t) внутри интервала [О, L]? 436

Приложение. Линейные задачи

Почему нет? Как зависит от времени величина максимума температуры (при t —*• оо)? Сравните полученные результаты с решением аналогичной задачи на бесконечном интервале. Является ли движение x(t) волной?

4. Покажите, что решение уравнения

ut + сих + OMxxx = 0, —oo<*<oo, />0,

связано с решением уравнения (П.1.49) преобразованием Галилея.

5. Дифференциальное уравнение первого порядка

ut + сих = О

можно приблизить конечно-разностным уравнением

цт+1 _ ит с с

~ Tt ~ + Th Kff - «ЯіЧ + Th KV, - <С->] = о-

(a) Умножив конечно-разностное уравнение на (и™+1 + и™), просуммируйте по п. Покажите, что

п п

Это «интеграл энергии» конечно-разностного уравнения. Какой интеграл энергии имеет дифференциальное уравнение?

(b) Какое дисперсионное соотношение имеют дифференциальное уравнение и конечно-разностная схема?

(c) Эта аппроксимация не дает численной диффузии (т. е. |Q| = 1), но приводит к фазовым ошибкам. Разложив каждый член разностного уравнения в ряд Тейлора (т. е. +

du т

+ /г+...) вблизи ы"1+1'2, покажите, что решение этого

OX п

конечно-разностного уравнения гораздо лучше аппроксимирует решение уравнения из упр. 4, чем исходного дифференциального уравнения первого порядка (упр. 5). Выразите а из упр. 4 через (іh, At, с). При заданных начальных данных определите время, по истечейии которого решения этих двух уравнений становятся существенно различными (при этом вам потребуется определить, что такое «существенное различие»). Дальнейшее обсуждение фазовых ошибок и библиографию по этому вопросу можно найти в работе [412].
Предыдущая << 1 .. 136 137 138 139 140 141 < 142 > 143 144 145 146 147 148 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed