Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
если г = ±<7* и <7 удовлетворяет неравенствам ^oo I Q \dx < оо
при всех п, то рбратную задачу можно решить, и такие потенциалы связаны с аналитическим поведением данных рассеяния в подходящих полуплоскостях.)
Отметим теперь, что уравнения обратной задачи ((1.3.24) и далее) можно вывести, используя классическую задачу Рима-на — Гильберта. Мы уже показали, что функции сре'^х, \pe~'ix, a(S) аналитичны в верхней полуплоскости, a ije'E*, <ре~%х, a(S) — в нижней. При этом разложения (1.3.3) можно преобразовать к 1.3. Вывод линейного интегрального уравнения 39
виду, который по существу представляет собой задачу Римана — Гильберта. Например, (1.3.3а) означает, что
(1.3.31) JE^l
Поэтому если а(?) не имеет нулей в верхней полуплоскости, то (1.3.31) можно трактовать как утверждение о разности (Ь/а)\на вещественной оси между двумя аналитическими (в своих полуплоскостях) функциями фе%х/а и Таким об-
разом осуществляется связь с задачей Римана — Гильберта о восстановлении кусочно-аналитической функции по ее скачкам. Независимо от того, имеет или нет функция а(?) нули в верхней полуплоскости, обычный подход к решению этой задачи приводит к линейным интегральным уравнениям на собственные функции. Подействуем на (1.3.31) проекционным оператором P+ = — 7г(1 +ІН), где H является преобразованием Гильберта
OO
H(U(I)) = L \ и &Ж-Ddl'.
— OO
Заметим, что
Р+--5-(0) ¦
Вклад (J) возникает из-за части контура в окрестности оо, другой вклад порождается нулями функции а(?). Итак, мы имеем линейное сингулярное интегральное уравнение
(1.3.32) і (I) = - Р+ (А (I) ір (х, I) в«*) + (J) +
+ Z
I-U
связывающее функции ф, ф. Второе уравнение можно вывести из (1.3.3b); при этом получится замкнутая система для г|з, из которой в принципе по данным рассеяния можно найти потенциалы. Так как глобальные результаты довольно трудно извлекать из этой системы, мы обычно будем обращаться к представлению Гельфанда — Левитана — Марченко. Умножив (1.3.32) на (у > х) и произведя преобразование Фурье, прямым вычислением убеждаемся, что уравнение (1.3.32) сводится к 40 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
(1.3.24а). Наиболее важно то, что, зная аналитические свойства собственных функций, легко вывести уравнения обратной задачи.
Приведем в завершение этого раздела результаты по обратной задаче рассеяния для оператора Шрёдингера:
(1.3.33) vxx + (K + q)v = 0.
Мы опускаем вывод уравнений обратной задачи, так как он аналогичен вышеописанному. Строгую теорию можно найти в работах Фаддеева [152] и Дейфта, Трубовица [136]. Для К = k2 мы определим собственные функции ф, гр, гр, имеющие следующее асимптотическое поведение:
(1.3.34а) <р~е-<**, х-»-—оо,
(1.3.34Ь) ар ~eikx, гр~е-''Ч х-* +оо.
Функции г|5 и -ф при k 0 линейно независимы, поэтому можно написать разложение
(1.3.35а) ф = +
Обычно определяют коэффициент отражения р (k) = b (k) /a (k) и коэффициент прохождения x(k) = l/a(k). Название «коэффициент отражения» здесь используется по аналогии с квантово-механической задачей о рассеянии на потенциале. Разделив (1.3.35а) на a(k), получим
(1.3.35Ь) тф == ф + ргр,
где ф обозначает волну, падающую справа ~ e~ikx при х->оо и т. д. Собственными значениями служат такие числа Kn — — — для которых функции ф„ = ф(х, х„) и гр„ убывают при \ х\—> со; они связаны соотношением
(1.3.36а) ф„ = CnIlpn.
Нормировочные коэффициенты Cn мы будем определять формулой
Sn
(1.3.36b) Cn =
а' (гх„)
(a(k) можно аналитически продолжить в верхнюю полуплоскость.) Собственные значения можно найти как решения уравнения a (ix) = 0.
Этой информации достаточно для решения обратной задачи рассеяния, т. е. для восстановления потенциала q. Вычислим 1.3. Вывод линейного интегрального уравнения
41
вначале функцию
N
(1.3.37а) F (х) = Jp (k) eikx dk-i ? Спе_и"х.
-OO 1
(В разд. 1.4 мы покажем, что —iCn можно заменить положительными величинами с2п.) Затем решим интегральное уравнение
OO
(1.3.37Ь) к (X, у) + F (х + у) + J К (X, г) F{г + у) dz =
О
и определим К(х, у). Потенциал q восстанавливается по формуле
(1.3.37с) q (х) = 2К (х, х).
Уравнение (1.3.37) в случае оператора Шрёдингера аналогично уравнению (1.3.27) для задачи (1.2.7а).
В следующем разделе мы покажем, что данные рассеяния S(k) (p(k) — коэффициент отражения, — дискретные соб-
ственные значения, {С,}»_, — нормировочные коэффициенты) имеют простую зависимость от времени, если потенциал подчиняется одному из нелинейных эволюционных уравнений, обсуждавшихся в разд. 1.1. Кроме того, связанные состояния приводят к солитонным решениям. При p(k) =O интегральное уравнение имеет вырожденное ядро, и можно найти К(х, у) в замкнутой форме (см., например, [270], а также разд. 1.4).
В заключение из педагогических соображений стоит отметить, что для некоторых потенциалов данные рассеяния (коэффициент отражения и т. д.) можно вычислить в замкнутой форме. Например, для
(1.3.38) q (х) = Qb(X),
решая (1.3.33), получим
