Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(1.3.23b) F(X)ss^l faetUdb
с
(1-3-2*) «И ^reft"*-
с
Интеграл 1 = 0, так как функция (ре'& является аналитической в верхней полуплоскости, У > X и контур С проходит выше всех нулей a (S). В результате имеем
(1
OO
.3.24) К(х, у) + (J ) F(x + y) + J К(х, s)F(s + y)ds = 0.
Произведя такие же преобразования над аналитическим продолжением соотношения (1.3.3b) в нижнюю полуплоскость, получим
(1
00
.3.25а) К(х, y)-^°1^F(x + y)-^K(x, s)F(s + у)ds = О, где
(1.3.25b) fW=-^T
с
и С — такой же контур, как С, но обходящий все нули a (S) снизу. Частный случай этих формул получается в предположении, что a (S) имеет изолированные простые нули (случай кратных нулей получается как предел при слиянии простых нулей) и не обращается в нуль на вещественной оси (? = т] = 0). Интегрирование по контуру в (1.3.23Ь) и (1.3.25Ь) дает
OO JV
(1.3.26а) F(x) = ± Jl (S) в«* dl - і ? CieitIx,
— оо /—1
OO N
(1.3.26b) F (X) = ± JA (I) e-itxd% + ? Cje-liI'.
где
/=і
r -IM. г -ІІА
2* 36
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
В случае более медленного убывания, когда функции а, a, b, b не могут быть аналитически продолжены, формулы (1.3.26а,_Ь) все равно имеют место, а нормировочные константы Cj, Cj находятся как коэффициенты пропорциональности собственных функций ф/ = ф(х, ?,-), -ф/. Например,ф/ = Cfij и Cj = CjJafj и т. д. (Отметим небольшое изменение обозначений по сравнению с 1.3.13.) Интегральные уравнения (1.3.24, 25) удобно записать в виде одного матричного уравнения, полагая
Ki KA _ ГО -F-
K2 Ki'
при этом имеем
OO
(1.3.27b) X (х, у) + У (х, у) + J Ж (х, s) Sr (s + у) ds = 0.
ґКі КЛ Ґ0 -F\
Как уже отмечалось выше, в частном (но важном с точки зрения физических приложений) случае г == ±q* имеются различные соотношения симметрии. Воспользовавшись (1.3.14, 15), получим
(1.3.28а) F (х) = ^ F* (х),
( К*2(х, у)\
(1.3.28b) <*.*>}
Интегральные уравнения (1.3.27Ь) с учетом этих условий симметрии приводятся к виду
(1.3.29а)
OO OO
Ki (X, у) =F F' (х + у) ± J J КЛх, z)F(z + s)F*(s + y)dsdz = 0.
x x
(Когда г — =F<7, q вещественно, то F(x), К(х, z) также вещественны.) Наконец, используя (1.3.20), мы получим потенциал
1.3.29b) q(x) = — 2Ki(x, х).
Потенциал г(х) определяется по формуле
г(х) = — 2К2 (Х, Х),
которая получается тем же способом, что и (1.3.29Ь) (см. (1.3.18) и т. д.).
Вопрос о существовании и единственности решений линейных интегральных уравнений (1.3.24) обычно решается при помощи альтернативы Фредгольма [424]. Например, ограничение г = 1.3. Вывод линейного интегрального уравнения 37
= —q* является достаточным для того, чтобы гарантировать существование и единственность решения уравнения (1.3.24).
Для доказательства рассмотрим однородные уравнения, соответствующие (1.3.24) (у > х):
OO
(1.3.30а) Zz1 (у) + J h2 (s) F(s + y)ds = О,
JC
00
(1.3.30b) h2 (у) - J /г, (s)~F (s + у) ds = 0.
x
(НЛ
Предположим, что h(y) = I является решением уравнения
(1.3.30), тождественно равным нулю при у < х. Для того чтобы воспользоваться альтернативой Фредгольма, достаточно показать, что h (у) =0. Умножим (1.3.30) на (h\, /г*), проинтегрируем по у и воспользуемся равенством
OO OO
5 \hj(y)fdy= J Ihl (у) I2 dy.
x -oo
В результате получим
OO ^ OO
(1.3.30с) U IH112 + I h212 + J [Ii2 (5) к (у) F(s + y)~
— ОО V — OO
- H1 (s) h'2 (у) F(s + y)]ds}dy = 0.
Если г = —q*, то условия симметрии (1.3.28) позволяют переписать последнее уравнение в виде
OO , OO \
5 і І /її I2 + I h212 + 2/ Im J h\(y)h2(s)F(s + y)ds\dy = 0.
-oo (. -oo )
Из равенства нулю вещественной и мнимой частей следует, что h(y) н=0, поэтому решение уравнения (1.3.24) существует и единственно.
Если же r(x) = q*(x), то задача является самосопряженной, спектр лежит на вещественной оси и F(s-{-y) = —F*(s-{-y). В этом случае (1.3.30) сводится к
(1.3.30d)
OO OO ч
- ОС (, — OO J 38 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Поскольку г = +<7*, то |а|2— |6|2=1 на вещественной оси, и, следовательно, |a(S) > 0. Более того, задача является самосопряженной, поэтому a (S) I > 0, г) 0. Это означает отсутствие дискретных собственных значений, и, следовательно,
OO — 00
Преобразование Фурье
OO
A,(l)= J ht (у) eily dy
— OO
удовлетворяет тождеству Парсеваля
оо оо
S I= J IfilUt
— 00 —OO
Воспользовавшись этим тождеством и поменяв порядок интегрирования в (1.3.30(1), получим
OO
S {IA, (- І) I2 +1 К (I) I2 + 2Re [-?- (і) k (- g) hl (I)]} dl = 0. — 00
Поскольку I (b/a) (?) | < 1, имеем
2Re [4- (Dh1 (- g) hi (I)] I < 21 A, (- a 11 hi (!) I <
+ 1 hid) I2.
Поэтому обязано выполняться равенство h = 0, и решение интегрального уравнения (1.3.24) существует и единственно.
Следует отметить, что до сих пор не предпринято полное и строгое изучение обратной задачи, связанной с оператором (1.2.7а). Поэтому не найдена явная характеризация класса данных рассеяния, приводящих к «хорошим» потенциалам. (Формулы и анализ, проведенный в этом разделе, показывают, что
