Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
= Итак, для удобства здесь мы будем предполагать, что
г, q убывают достаточно быстро, точнее
мер, [12]).
(1.3.14а)
из которых следует, что
(1.3.14b) a (0 = а (?*), Ь (Q = Tb* (О
и соответственно
(1.3.14с) N = N, ik-&, Cfe = TCl
Совершенно аналогично, в случае r = ±q мы имеем 32
1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
что приводит к равенствам
(1.3.15b) a = a(-O, MS) = =F 6(-О
и, следовательно,
(1.3.15с) N = N, Ik = -Ik, Ck = TCk.
Если ж er = ±q и q вещественно, то имеют место обе описанные выше симметрии. Поэтому, если Sft является собственным значением, то и —Sft также обязано быть собственным значением. Таким образом, собственные значения либо лежат на мнимой оси, либо расположены симметрично относительно ее. Описанные соотношения приводят к важным следствиям для мКдФ, нелинейного уравнения Шрёдингера и уравнения sin-Гордон.
Отметим два обстоятельства, (і) При г = +q* задача на собственные значения (1.2.7а) является эрмитовой. В рассматриваемом случае (q-у 0 достаточно быстро при |*|-»-оо) собственные значения отсутствуют при Im S > 0. (H) Нетрудно дать оценку, гарантирующую отсутствие собственных значений при г — —q*. Поскольку a = W(ф, -ф), мы имеем
(1.3.16а) a (S)= Hm <р, (*, Qe*",
Х-><х>
и из (1.3.5а)
OO у
(1.3.16b) |a(S)-H<l + \dy \ dz\q (у) \\r(x)\\ъ&Ое** \-l.
-OO —OO
Используя (1.3.7), получим (1.3.16с) Ia(S)-I |</0(2 V Qo (°°) Ro (°°)) 1 (I0 (*)> 1, если X ^O). Таким образом, если (1.3.16d) I0 (2 VQo(°°)/?o(°°))<2
или
(І.З.Ібе) Q0 (оо) R0 (сю) < 0,817,
то в задаче (1.2.7а) отсутствуют связанные состояния (если г = = — q*, то Q0 = R0).
Проведенный анализ обычно называют прямой задачей рассеяния. Далее мы будем изучать обратную задачу рассеяния.
Мы будем выводить формулы обратной задачи рассеяния, предполагая, что данные рассеяния (а, a, b, б) являются целыми функциями. Достаточно предположить, что q, г убывают быстрее любой экспоненты при IXI оо, Это весьма ограничительное предположение можно отбросить, но при этом предложенный здесь простой вывод придется несколько модифицировать. 1.3. Вывод линейного интегрального уравнения 33
Вначале мы примем следующие интегральные представления для функций г|), {[):
(1.3.17а) ^ = ( і )е<с* + I К(х> s)elt*ds,
x
( 1 \ °° _ (1.3.17Ь) -ф = Г Q ) + J К(х, s)a*sds,
где ? = і + ІЦ, "П ^ 0 и К, К являются двухкомпонентными век-
( Кх(х, s)\
торами, т. е. К (х, s) = ^ ^ ^ ^J- Интегральный член, содержащий К, К, определяет отличие асимптотик при х = оо от истинной собственной функции. Чтобы удовлетворить граничным условиям, естественно считать ядро К треугольным, т. е. К{х, s) = 0 при X > s. Наиболее важным звеном этой конструкции является независимость ядер К, К от Этот факт отмечался Гельфандом и Левитаном (1955) [182] в их оригинальной работе.
Для того чтобы обосновать существование таких представлений, достаточно подставить (1.3.17) в (1.2.7а). Например, из (1.3.17а) получаем
OO
(1.3.18а) 5 е'С» [(<% - ds) Ki (X, s) — q (х) K2 (х, s)] ds -
x
- [q (x) + 2Ki (x, X)] е*х + lim [K1 (x, s) = O1
S-> oo
OO
(1.3.18b) J e*s[(dx + ds)K2(x, s)-r(x)Ki(x, s)]ds-
x
— lim [K2(x, s) e'^s] = 0.
s-> oo
Таким образом, необходимо и достаточно удовлетворить уравнениям
(дх - ds) Ki (х, s) — q (х) K2 (X, s) = О, ( } + s)-r(x)Ki(x, s) = О
с учетом следующих граничных условии:
2 2
K1 (X, x) = — \q (*),
(1.3.20)
lim К (х, s) = 0.
2 Зак. 114 34 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
Существует решение уравнений (1.3.19), удовлетворяющее граничным условиям (1.3.20). Для того чтобы это увидеть, введем новые координаты
H = ^ (* + s). v=-^-(x —s).
Переходя к этим координатам, из (1.3.19, 20) получаем
dvtfі (И> V) — q (ц + v) K2 (Ц. V) = 0, ад» 0*. v) - г (ц + v) K1 (ц, V) = 0,
Kite, 0) = -I9(H), lim/f(n, v) = 0
|l-»V
^нетрудно проверить, что K2 (ц, 0) = J ^r (ц') q (р/) d\i'Опираясь на теорию характеристик, можно показать, что решение рассматриваемой задачи (задачи Гурса) существует и единственно. Аналогично можно показать существование и единственность К.
Теперь мы выведем линейные интегральные уравнения (уравнение Гельфанда — Левитана — Марченко) обратной задачи рассеяния. Рассмотрим точки принадлежащие контуру С, который начинается в —оо -f- t'0+, проходит над всеми нулями а(?) и оканчивается в +оо -f- t'0+. Мы предположим функции q и г достаточно быстро убывающими; это позволяет продолжить (1.3.3а) в верхнюю полуплоскость и затем переписать его в виде
(1.3.21) 0+1^(,,0.
Подставляя (1.3.17) в (1.3.21), находим
(0 Л °° _
j J e-'t*+ J К{х, s)e-*bds +
x
+ в(0 ((і)eilx+ Sк {х's) elZs ds)-
Умножим это уравнение на (1/2я)e'tydt, и проинтегрируем по контуру С при у > х. Воспользовавшись представлением
6-функции Дирака = ^ dt, и изменив порядок интег-
с 1.3. Вывод линейного интегрального уравнения 35
рирования, получим
OO
(1.3.23а) 1 = К(х, г/) + ^|/=-(л: + г/)+ J К(х, s)F(s + y)ds, где
