Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
в случае (1.2.7а) функция ф удовлетворяет уравнению
* у
(1.3.5а) фі (х, Qe^x=I dzq(y)r(z)e^y~z\x(z, ?),
-OO —оо
или
x
(1.3.5Ь) ф, (х, О = і + ^ М(х, у, Q ф, (у, 0 е1^ dy,
— OO
x
(1.3.5с) ф2 (х, О = J е^ (х-у)г (у) ф1 (у, О еЧУ dy,
-OO
где
x
(1.3.5d) М(х, у, t) = r(y)\e^^-^q(z)dz.
у
Если q, г убывают достаточно быстро при |х] —>-оо, так что q, г є L\, то существуют интегралы
x x
R0(X)S \ \r(y)\dy, Q0 (х) S= ^\q(y)\dy,
— OO — OO
и можно показать, что ряд Неймана для рассматриваемого интегрального уравнения типа Вольтерры абсолютно сходится в верхней полуплоскости (г| >0). Точнее, из (1.3.5а) следует, что
* у
(1.3.6) 1ф,(дг, oe'^kl+ \dy \ dz\q(y)\\r(z)\ +
— OO —OO
хуг уі
+ J dy J dz ^dyx ^ dzl\q(y)\\r{z)q(y])\\r(zl)\, 1.3. Вывод линейного интегрального уравнения
29
поэтому простая оценка дает
(1.3.7) I ф, (х, Q е*х I < 1 + Q0 (X) Rv (X) + J^r Qg (*) ^ (*) + + Q30 (х) Щ (X) + ... = I0 (2 д/Q0 (х) R((x)),
и видна абсолютная сходимость ряда Неймана для интегрального уравнения (1.3.5) при г| > 0. Отсюда немедленно следует, что ф,-el* является ограниченной функцией при г] > 0. Аналитичность функции ](х, ?) устанавливается повторением описанной процедуры, но для интегрального уравнения, полученного дифференцированием (1.3.5) по S-
Простое требование q, г е L\ не обеспечивает аналитичности данных рассеяния на вещественной оси (»1 = 0); для этого на г, q следует наложить более жесткие условия. Воспользовавшись теми же соображениями, можно показать, что если
I г (х) К Ce-™ I * I, I q (х)! < Се-2К I * і,
где С, К (К > 0) — константы, то е!^ф (х, у, (х, р v а (?)
являются аналитическими при всех ^ > — К. а е~'^хф(х, ?), (х, ?) и а (?) — аналитическими при всех rj <С /С- Кроме того, b(Q и b(Q являются аналитическими в полосе К > л >
>-К.
Если же г, q убывают быстрее любой экспоненты при \х\ -> оо, то обсуждавшиеся выше функции являются целыми функциями Это легко понять в очень частном случае, когда функции г, q имеют финитный носитель, так как тогда (1.3.5) представляют собой интегральные уравнения Вольтерры на конечном интервале. Такие уравнения всегда имеют решения в виде абсолютного сходящегося ряда Неймана (см., например, [424]).
Возвращаясь к (1.3.5) и (1.2.7а), мы можем вычислить асимптотические разложения при больших Для этого проинтегрируем по частям (1.3.5) и найдем (? лежит в верхней полуплоскости)
x
(1.3.8а) ф1в'С* = 1 - alg \ г (У) q (У) dy +О (Г2)>
-OO
(1.3.8b) <р2е*х = -^г(х) + 0(С2)
(выражения (1.3.8) мы могли бы найти иначе, используя метод В КБ для (1.2.7а)). Аналогично получаются разложения для других собственных функций. Для г|з(?) (? лежит в верхней 31 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале
полуплоскости)
= ^ я W + о (Г2),
(13 9) °°
= 1 - ^l\r{y)q{y)dy + 0 (Г2),
а для ф, (? лежит в нижней полуплоскости) (1.3.10)
(1.3.11)
= ^ (у) г (у) dy + о (Гй),
— OO
OO
^x + q(y)r(y)dy + 0 (Г2).
x
Vitl = -^rW + О г2).
Таким образом, в соответствующих полуплоскостях мы имеем при |?| оо
OO
(1.3.12а) 0(8=1--^ \ q(y)r(y)dy + 0(r-2),
— оо
OO
(1.3.12Ь) 0(0= 1+^ J +
— 00
Если г, q не слишком «малы» (условия малости мы уточним ниже в этом разделе), то оператор (1.2.7а) может обладать дискретными собственными значениями (связанными состояниями). Они возникают, когда функция а(?) имеет нули в верхней полуплоскости (г} > 0) или когда а(?) имеет нули в нижней полуплоскости (г] < 0). Нули функции a (S) мы будем обозначать ?/г, k = 1, 2, . . ., N, где N — число связанных состояний. При ? = = функция ф пропорциональна г|) (напомним, что а = = W(<p, ?)):
(1.3.13а) Ф = Cfti|J.
Аналогично, когда a имеет нули в нижней полуплоскости в точках ? = Sft, k = 1, . . •, N, мы также имеем связанное состояние, и
(1.3.13b) Ф = СЛф. 1.3. Вывод линейного интегрального уравнения
31
Выше отмечалось, что если г, q убывают достаточно быстро при I JcI оо, то а, b, a, Ь являются целыми функциями. В_этом случае мы можем продолжить Ь,В и получить Ck = 6(Sft). Ck =
для всех п. В этом случае a(S), a(S) являются аналитическими функциями в верхней и нижней полуплоскостях соответственно и на вещественной оси. Это гарантирует нам, что a (S) имеет только конечное число нулей при Im S^O (так как a (S) является аналитической функцией при Im S ^ 0, a (S)-M при |?|->--> оо, нули a (S) изолированы и лежат в ограниченной области).
Задача на собственные значения (1.2.7а) и (1.3.1) отличается от соответствующей задачи для оператора Шрёдингера в следующих отношениях: (і) нули a(S) (т. е. собственные значения) не обязательно лежат на мнимой оси; (ii) a(S) может иметь кратные нули; (iii) a (S) может принимать нулевые значения на вещественной оси Im S = 0, однако эти точки не являются собственными значениями, так как соответствующая собственная функция не является квадратично интегрируемой (см., напри-
Важные с физической точки зрения случаи возникают, когда г пропорционально q* или q. В случае когда г — ±q*, из (1.2.7а) следуют соотношения симметрии
