Основы восстановления деталей осталиванием - Швецов А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
4 Заказ 11649 81.
ч
или
где
(MlMtv..,. М/.і), -M1]
M =M1U M2U...U MulUMi,
(3-9)
(3-Ю)
і — способы и методы восстановления деталей.
Для разбиения множества M на классы подмножеств; [Mh М2—} соответственно иД( , необходимо и достаточно-иметь отношения эквивалентности {14].
Отношение А на множестве $Л называется эквивалентно-1 стью, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно [14].
Аксимэтическое определение каждого класса подмножества влечет за собой определение установившегося транзитив-.,
його замыкания (А) отношения А.
Соотношение ХАУ выполнено, если из:
M-.Z0==Xі, z\f ..., zn = y, а между членами выполняютс: отношения:
Z0AZ1, Z1AZ2, ..„z(n-i)Azn, (3-11)
при (п = 1):Z0^=X и Z1= У, (3-12);
из (3—9) имеем; А СЛ; (3-13)«
при п=2 имеем XAz и гАУ или ХААУ, (3-14)
при п=п имеем ХАпУ. (3-15)
Из (3-15) следует, что транзитивное замыкание отношения А — объединение всех его степеней, т. е.
A = AUA2U. ..UAn.
(3-16)
Бинарные отношения на конечном множестве задаются способом построения матриц.
Из ранее изложенного, следует, что множество M состоит из п-го количества элементов (1, 2, ..., п), а А — отношение на нем. Матрица будет состоять из і-строк и /-столбцов. Пересечение І-й строки и /-го столбца дает единицу, если выполняется соотношение Xi AXj и 0 в других случаях.
где а у
I ; I1 если выполняется XiAYj аН = \. О, если не выполняется XiAYj,
-обозначение матрицы.
. 82
(3-17)
Матрица а,7= 1 — задается полное отношение MXД, матрица CiiJ =0— задается пустое отношение.
При I = /, 0,7=1. *
ІФІ, Ciij—0. ' (3-18)
Матрице соответствует диагональное отношение E (Е — символ, выполняющий значение 1) или отношение равенства;
ХЕУ, т. е.
100000 0---00
14-11 =
00
00
10
01
(3-19)
В матричной форме (3-19) симметричное отношение выражают элементы, которые симметричны относительно главной диагонали и равны между собой, т. е. от перемены мест элементов значение матрицы не меняется:
. йу = 0л- (3-20)
Симметричность отношения А следует понимать как
A = A-1, ' (3-21)
или если выполнено соотношение ХАУ, .ТО' выполняется и соотношение У АХ. Если X эталон У, то и У эталон X. При^А'
(3-21 а)
отношение рефлексивно. Рефлексивность отношения выполняется между объектом и им самим: ХАХ. Рефлексивное отношение представляется матрицей (3-19), у которой главная диагональ состоит из единиц [5]. Рефлексивность отношений следует рассматривать как' наличие общего эталона с подмножеством Mi-1 множества М.
Следовательно, каждый класс (3-9) эквивалентности ЛЬ-і СОСТОИТ ИЗ всех элементов, имеющих общий эталон Xi-I.
Из (3-4) имеем Xi-iАХі-\, откуда: ' •*_
Хі-х^Мі-х, (3-22)
где ? — знак принадлежности.
Отношение А всегда можно задать разбиением множества на классы подмножесїв в соответствии с эталоном каждого Класса.
41і
83
Разбиение множества M на семейства номенклатур— есть совокупность Д подмножеств, удовлетворяющих трем условиям: -
1) каждое подмножество из Д не пустое:
(ЛУ)(У?Д^У=0), , (3-23)
где
Д—конъюнкция (элемент математической логики, кото-_рый показывает, что из 2-х высказываний А, В имеется но-'вое высказывание, которое считается истинным, если А и В— истинны, и ложным, если одно из них ложно);
— импликация (элемент математической логики, который показывает, что из 2-х высказываний А, В имеется А и В новое высказывание, считаемое ложным, если А истинно и В ложно, при всех других логических значениях — истинным. » А — посылка, а В — следствие импликации);
2) объединение совокупности Д=Ді0, Д%и, ... совпадает с множество^:
М: иД=M; ,(3-24)
3) различные подмножества из Д не пересекаются:
(ЛУі,У2)[(УіЄ ОЛ/иЄ 0/\Ухф У\)-*УіПУ2=0]. <3-25)
Рассмотрим удовлетворение трем условиям (3-23) — (3-25), когда А — эквивалентность, определенная на множестве М. Совокупность всех срезов А через элементы множества M будет фактор-множество MIA. Каждый срез А через элемент множества М\
А<У>=ІС У)[(*,У>€ Л) (3-26)
будем называть классом, а его элементы (детали) —представителями данного класса..
¦Ввиду рефлексивности А каждый элемент:
¦У^М. (3-27)
и эквиваленте^ себе (3-3) — (3-5), а также принадлежит срезу А через этот же элемент:
У^А<Уг>. (3-28)
Из (3-28) получаем, что каждый класс А не пуст и каж--дый элемент множества M принадлежит некоторому классу А. Предположим, что существует элемент Уо множества М, принадлежащий двум-разным классам А, классам:
А<Уг> (3-29)
и
А<У2>. (3-30)
Тогда будут справедливы соотношения: „
V1=V0 У2=У0 (3-31)
и будет существовать элемент У3 множества М, принадлежащий одному из этих классов и не принадлежащий другому. Например:
У3ІА<У,>. (3-32)
її
УзІА<У2>. (3-33)
Из (3-29, 3-30) имеем:
У!=У3 и УофУз• (3-34)*
Воспользуемся симметричностью и транзитивностью А и получим из (3-31, 3-34)
X2=X3,' (3-35)
что противоречит (3-34).
Противоречие (3-34) доказывает, что ни один элемент множества M не принадлежит двум разным классам А.