Вращающиеся печи: теплотехника, управление и экология - Лисиенко В.Г.
ISBN 5-98457-018-1
Скачать (прямая ссылка):
MI } = М0 + NJi(l - cos ф) - qR*(<psin. ф + cos ф - 1), (121)
Если сечения расположены по длине дуги от 90 до 180°, то изгибающие моменты для них находятся:
Ми и = М0 + NJt(l - cos ф) - qR2(фБШ ф + cos ф - 1) - 77?(1 - sin ф), (122)
Определение изгибающего момента Mt) и нормальной силы N0 для начального сечения производится по теореме Кастильяно. По этой теореме при деформации стержней малой кривизны, имеющих небольшой радиус инерции сечения, для всех сечений стержня справедливы уравнения:
г М dM г М dM . .
---------ds = 0 и ----------------ds = f,
j EJ dM0 jEJ dN0
где M — изгибающий момент, действующий в рассматриваемом сечении; ds
— элемент длины стержня; для кольца ds = Rd<p; dM/dMQ и dM/dN0 — частные производные от момента в рассматриваемом сечении по Мц и /Vf|; 0 и /— соответственно угол поворота и осевое смещение рассматриваемого сечения; I — условная величина, указывающая, на каткую длину стержня распространяется интеграл.
В начальном сечении у-у, расположенном по линии симметрии, полукольца не поворачиваются и не сдвигаются одно относительного другого. Поэтому для этого сечения 0 = 0 и/= 0.
19*
563
Следовательно, уравнения Кастильяно для начального сечения кольца имеют вид:
Г".*"_А=0 (123)
j EJ с!М{)
и
гМ dM
j EJ dNn
ds = 0, (124)
или, после сокращений на постоянную величину EJ,
\M-^-ds = о и Гаг—ds = o.
/ dM0 J dN0
Дифференцируя уравнение, находим, что:
dM , dM
= 1 и ----------=/?(l-cosq>) .
dMQ dN0
Подставляя в уравнения (123) и (124) момент М р который является полным изгибающим моментом относительно рассматриваемого сечения кольца, а также величины частных производных и элемента длины ds = Rdq>, и произ-ведя затем сокращение первого уравнения на R и второго на R , получаем:
П П
j[M0 + N0R(l - coscp) - qR2 ((psin (p + coscp -1)]d(p - TR |(1 - sin (p)dq = 0
И
j[M0 + N0R(\ - coscp) - qR2 (cpsmср + costp -1)]{1 - cos(p)c/<p -
о
П
— 77? J(1 — sin (p)(l - cos <р)с/ф = 0.
564
Пределы интегралов здесь определяют область действия составляющих моментов, являющихся слагаемыми полного момента. После интегрирования и подстановки пределов имеем:
тсМ0 + tzNqR + TR( 1 - п/2) = О
и
тгМ0 + (Зя/2)NJi + 0,25тzqR2 - Щтс/2 - 0,5) = 0.
Заменив усилия Т и q равными им величинами (QJ2) и (QJ2nR), получим:
7гМ0 + тсАуг + ?>Д0,5 - тс/4) = 0
и
тсМ0 + (Зтс/2)Лу? + 0,1256,2? - бДтс/4 - 0,25) = 0.
Решая эти два уравнения с двумя неизвестными, находим, что изгибающий момент в начальном сечении кольца равен:
М0 = +0,0111 (125)
а нормальная сила
N0 = +0,0795Qy (126)
Знак плюс перед полученными величинами подтверждает, что направления действия М0 и Nt) совпадают с принятым на рис. 7, а.
Так как верхняя и нижняя половины кольца симметричны по форме и обратно симметричны по нагрузке, изгибающий момент в нижнем вертикальном сечении кольца, для которого текущий угол (р = 180°, равен
мш = -0,01 lie,*, (127)
Эта же величина для М0 получается и из уравнения (122) после подстановки в него значений для М() и NQ.
Изгибающий момент в горизонтальных сечениях кольца определяется из уравнения (121) при подстановке в него значений для М{) и N(). Произведя эту подстановку, находим, что
М = М =0 (128)
90 270 V ’
Такого значения для МЩ) и М210 и следовало ожидать при равной, но противоположно направленной нагрузке на верхнее и нижнее полукольца.
565
Поперечно направленный изгибающий момент от действия футеровки.
Правая и левая части кольца по расположению нагрузки симметричны относительно вертикального диаметра, поэтому за начальное сечение, как и в предыдущем случае, принимаем верхнее вертикальное сечение у-у (рис. 5, б).
Изгибающий момент в сечениях кольца, расположенных по дуге от 0 до 90°, определяется по уравнению:
а вычислением моментов для сечений, которые расположены по длине дуги от 90 до 180°, служит уравнение:
Интеграл последнего уравнения представляет момент относительно рассматриваемого сечения всей внешней нагрузки, которая распределена по дуге, определяемой центральным углом (ф - 90°).
Определим величину этого момента.
Элементарный момент от синусоидально распределенной нагрузки равен:
или, после замены q равным ему значением qQcos ф,
dM = qj^sin^ - ф) = cos ф aty.
Полный момент от нагрузки по длине дуги от 90 до (ф - 90°) равен:
Мы = М0 + N( R( 1 - cos ф),
(129)
Ф
Ми_п =М0 + NqR(\ — совф) + |^/?28т(ф-ф)^ф-77?(1-8тф).
90
dMq = (qd§R)[Rsin(($> - ф)] = #Д28т(ф - ф)с/ф,
ф
90
или, после интегрирования и подстановки пределов, получим:
Подставив это выражение в уравнение для М получаем:
Как и в предыдущем случае, момент и нормальная сила в начальном сечении кольца определяются при помощи теоремы Кастильяно. Частные производные здесь имеют те же значения. Вводя в уравнения Кастильяно момент Мц частные производные, длину элемента ds и произведя затем сокращение первого уравнения на R и второго на R2, получаем:
j[M0 + N0R( 1 - costp)]dip - q0R2 j
2ф-тс | . 1
------ sinm + —cosm
4 J V 2 T
dip-
К
¦ TR |(1 - sin ф)dip = 0
II
j[A/0 + N0R{ 1 - cos ф)](1 - cos
-9oR2\
