Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис.'70.
Nx=0, Ny=q для каждой узловой точки сетки (нумерации точек показана на рис. 70) запищем уравнение (143).
'91Точка 1
20 Qy1 — 8 (2avf 2w3)+8ш4 = —k (2 W3 -2 W1)
Точка 2
2 Oay2 — 8 (W1 + 2ю4) + 4да3=- -k (2w4- -2w2).
Точка 3
20w3 — 8 (W1 + 2W4) + 4w2= —k (W1 - -2 w3).
Точка 4 .
20 Wi — 8 (w2+w3) + 2 W1 = - -k (W2 - - 2 Wi),
где
ql2
16D
После приведения этой системы к каноническому виду путем умножения второго и третьего уравнений на два, а четвертого на четыре получаем: .
(20 — 2k) W1 — 16да2 — (16 — 2&) Шд-f 8и>4=0;
—16% + (40 — Ak) W2+8 W3 — (32 — Ak) ш4=0;
— (16 — 2k) W1+-8W2 + (40 Ak)w3 — 32w4 = 0;
8Wi — (32 — 4k) W2 — 32W3 + (80 — 8k) W4=0.
Эта система однородных уравнений будет иметь нетривиальное рё-шение, если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных W будет равен нулю. Следовательно, требуется найти такую величину k, при которой определитель: *
20 — k —16 —(16 — 2^) 8 — 16 (40 — Ak) 8 — (32—Ak) -(16—2k) 8 (40 — Ak). —32 8 —(32—Ak) -32 ' (80 — 8k)
A=
обращается в нуль. "
Раркрытие определителей этого вида выше третьего порядка при неизвестном параметре k представляет собой трудоемкую операцию, связанную к тому же с необходимостью решения алгебраического уравнения высшего порядка. Используя свойства определителей1 мржно добиться обращения в нуль ряда членов и этим упростить операции, связаяные с раскрытием определителя. Однако в большинстве случаев оказывается наиболее целесообразным применение метода последовательных приближений с использованием схемы Гаусса.
1 См.: М, Я. Выгодский. Справочник по высшей математике. M., Физ-матгиз. 1958, § 184, § 1-85.
92Таблица 11
Определитель Д
16 —16 —12 8
32 8 —24
32 —32
64
б- таблица
Известно1, что определитель равен произведению главных элементов треугольной системы. "Эта система получается из заданных коэффициентов определителя так же, как и при решении уравнений по схеме Гаусса (см. § 2). При этом приходится задавать численное значение параметру k. В первом приближении k может быть принято, исходя из найденной величины критической нагрузки,' полученной при крупном шаге сетки. Если окажется, что при принятом значении k определитель не равен янулю, то следует уточнять величину k и сделать проверку. Поясним сказанное на рассматриваемом примере. Примем k в первом приближении, исходя из найденного значения критической нагрузки
при шаге сетки Ax=A у=
а-таблица
16 -16 —12 8
' 1,00 16 -• 4 —16
0,75 0,25 22 —30
—0,50 1,00 1,363 64—60,89
Таблица 26
' Определитель Д
Д5,20 —16 ! —11,20 30,40 j 8 j 30,40 ! 8 —22,40 —32 60,80
б- таблица
Xi-таблица
Т. Є.
. -32^o 16 D 16
15,20 —16 —11,20 8
1,0526 13,5584 —3,7891 —13,9800
0,7368 0,2794 21,0892 —30,0116
0,5263 1,0311 1,4231 60,80— 61,3367
Определитель А после ПОД: становки в него принятого значения k записан в верхней части табл. 25 (симметричные коэффициенты ниже главной диагонали отмечены точками). В нижней части этой таблицы сделано приведение его к •Треугольному виду. Произведение диагональных элементов треугольной системы дает величину определителя:
А={64 — 60,89) 22-16-16=3,1 U,
где Х = 22-16-16. *
3 11
Процент ошибки составляет —1--100^5%.
у 62,44
1 См.: И. С. Березин, Н. П. Жидков. Методы вычислений. Ч. I, ¦Физматгиз, 1962.
Заказ № 318
93Определитель A
Увеличим k несколько больше, чем на 5% и примем равньш 2,4. При этом значении k определитель А записан в верхней части
табл. 26; в нижне- части Таблица 27 сделано приведение его к треугольной системе. Величина определителя получается равной:
A=(60,80 —61,3367) X X 21,0892-13,5584Х X 15,20=—0,5367?,,
где
А,=21,0892 • 13,5584- 15,20. Процент ошибки: -^0,6367-100
.15,32 —16 30,64 —11,32 , 8 30,64 8 ' —22,64 —32 61,28
б-таблица
а-таблица
15,32 —16 —11,32 8
1,0444 13,9296 —3,8122 —14,2848
0,7389 0,2737 21,2322 —29,9985
—0,5222 1,0255 1,4129 61,28—§1,2115
61,1683
—0,87%. .
Путем линейной интерполяции находим k, при котором определитель А должен обратиться в нуль.
?=2-
{5(2-2,40) ' —0,87 — 5
=2,34.
Для проверки вычисляем определитель А при A=2,34. Вычисления приведены в табл. 27. Погрешность получается равной:
0,0685-100
= 0,11%,
61,2460
что вполне допустимо. Находим критическую нагрузку:
16 kD
Яи-
16-2,34- = 37,44-.
/2 Z2
Поскольку нам известно значение критической нагрузки при двух различных шагах сетки, то мы можем уточнить ее величину. По формуле (10) получаем:
%=^ (-32• 0,333 + 37,44• 1,333)=39,25
Точное значение ак = 39,48 -.
Z2
Пример 2. Определить критическую величину распределенной нагрузки q, сжимающей прямоугольную пластинку, два противоположных края которой свободно оперты, третий защемлен, четвертый свободен (рис. 71). Расчет этой пластинки на действие поперечной
94¦г -ч
нагрузки при шаге Ax=Ay=- был рассмотрен во втором примере § 5. Так как левые части уравнений (143) и (135) одинаковы, то уравнение (143) для точек 1, 2,