Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
^=--^-=1,46520?/2.
Ax2 Eh? ^
му>3=-вГ2^-^ +.|i «і-2».+».
у L ДУ8 А*2
=—[2 • 0,02054 — 2 • 0,02798 + + 0,3 (0,01360 —2 • 0,02798 + 0,02360)] • A = =0,02051 • 1,46520?/2=0,03б05?/2. Во втором пролете
. Mx, 3= -D [¦"і-2"»+"'» + ц 2^-- 2ws
Axs . Aj;2
= — [0,01033 — 2 • 0,02173 + 0,01643 + + 0,3(2-0,01606 — 2-0,02173)]. А=0,02010-1,46520?/2=0,02945?/*;
*
M — p]2w*~~2щ і 2taB+^!
у'3 ! Ajf» f^ Ддг2 J = — [2.0,01606 — 2.0,02173 + + 0,3(0,01033 — 2-0,02173 + 0,01643)]. A= = 0,01635-1,46520?/2=0,02396?/2. В третьем пролете
а>1 — 2??,+? , „ 2W1 — 2w3 H1
Да2 Ay2
=— [— 0,0071,7+2 • 0,00625 — 0,00327 +
+0,3(-2-0,00448 +2 "-0,00625)]-A= .= — 0,00312 • 1,46520?/2= — 0,00457?/2;
Mv3 = -D\2w<-2w*+u ^-2ws+W6 У L Aj*2 ' Ax2
=—[—2.0,00448+2 • 0,00625+
-1-0,3 (— 0,00717 + 2 • 0,00625 — 0,00327)] ¦ A=
, = — 0,00416 *. 1,46520?/2=— 0,0061 Oql2. § 7. Устойчивость пластинок
Прямоугольная пластинка, сжатая в одном или двух направлениях, при определенной величине сжимающих сил может выпучиться (рис. 65), т. е. потерять устойчивость. Под устойчивой формой равновесия понимается такое положение пластинки, при котором она, получив малое отклонение от этого положения, будет возвращаться к нему. Нагрузка, при которой начальная форма равновесия перестает быть устойчивой, называется критической. Если выпучивание пластинки как элемента конструкции считается недопустимым, то расчетная нагрузка должна составлять лишь известную часть от критической.
- Рассмотрим дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки при действии сжимающих сил, расположенных в ее срединной плоскости в момент потери устойчивости. При действии поперечной нагрузки оно имело вид:
~D '
Рис 65.
— + 2 дх1
д*ои ^diW _ дх2 ду2 ду4
Это уравнение получено из условия равновесия элемента пластинки размерами dx, dy и высотой h. Если поперечная нагрузка отсутствует, но действуют сжимающие силы, расположенные в срединной, плоскости, то на вырезанный элемент из пластинки помимо изгибающих, крутящих моментов, поперечных сил будут действовать еще
M.u+Tr?dx
дму Mu+—dy s dy
, onx
f^dyC^dx
3 аУ
Рис. 66.
и продольные усилия Nx и Nv (рис. 66). Эти усилия войдут в уравнение равновесия 2 Z=O. При этом элемент следует рассмат-
89 ривать в деформированном состоянии. Ввиду малой величины углов наклона усилий Nx и Ny к начальной срединной плоскости синусы углов заменим самими углами, а косинусы углов примем равными
единице. На рис. 67 изображен элемент пластинки с размерами dx, dy и показаны действующие по его граням сжимающие усилия.
Проектируя усилия Nx и Nx+^*-
дх
е{ , а , U
п , a , к. . ь
h с ) 9,
т Ї •
•
на ось z, получаем:
dw
Nr
dNx
дх
dy-]Nx+~^-dx
dw dx.
Рис. 68.
+^W
дх\дх J
dy.
Сокращая одинаковые члены с разными знаками и отбрасывая величины третьего порядка малости, будем иметь:
'—Nr-dxdy.
, дх2
dNy
' ду
на ось г:
Аналогично определяем проекцию усилий Ny и Ny
—N —dxdy. У ду2 7
Складывая найденные величины проекций сжимающих сил на ось г с проекциями поперечных сил на ту же ось согласно (87), после сокращения на dxdy получаем:
dQxz і dQyz дх ду
-N
d2w дх2
N,
d2w_ ду2'
= 0.
Подставив в это выражение вместо Qxz и Qyz их значения согласно (91) и (92), получим дифференциальное уравнение изгиба пластинки в момент потери устойчивости: .
— + 2-
дх1 дх2 ду
d*w d*w_ ду»"
D1 \ х дх2 у ду2J
(142)
Рассмотрим решение этого уравнения методом сеток. Для точки k сетки (рис. 68) при шаге сетки Ax=Aу оно запишется в виде:
і
20?—8 (wa+wb+wcwd) -А- 2 (we + Wf 4- wh+wg) + Wi + W1 + wm + wn=
Л v2 •
=-^{Nx(wb-2wkfwd)+Ny(wa-2wk+wc)]. (143)
Такое уравнение' записывается для каждой узловой точки сетки внутри контура пластинки. В результате получается система однородных уравнений, из которой и определяется наименьший параметр
90 T-/
критической нагрузки. При этом прогибы в контурных и законтурных точках выражаются через прогибы «внутренних точек, исходя из граничных условий. Методику * расчёта рассмотрим на конкретных примерах.
Пример 1. Определить критическую величину распределенной нагрузки q, сжимающей квадратнуір пластинку, свободно опертую по краям (рис. 69).
Примем\ шаг сетки самый
крупный, т.\е. Ax,= Ay=-^-. Интенсивность ,сжимающих усилий Nx=0, Ny=q. Запишем уравнение (143) для точки 1, при этом [будем иметь в виду, что согласно граничным условиям (136) прогиб в законтурных точках будет —W1, а в точках контура — нуль. Получим:
IlM ІІІІПІІНІ
I----- I I і і
і_____
«ШШШІІІІІІІІШІ
А/ Рис. 69.
20? — 4?=- q2wx= Uw1,
где
k=
ЯП
2 D
или
~Ч S
і ¦ч ш U ш я шш -4
I Ч . 3_ U
-S г 1__ г 2 I -2
-ч ч 3 і ч I -ч
L-Z № ___I
-1,-3
-ч
шшшшшшишнш
I_I_Г
(16 — A) OJ1=O.
Уравнение однородное. Так как Oi1=Z=O в момент потери устойчивости, то 16 — k=0. Следовательно,
Найденное значение критической нагрузки является, конечно, лишь первым грубым приближением, так как шаг сетки был принят очень крупным. Уменьшим шаг сетки, чтобы получить практически приемлемый результат. Примем его равным Ax=Ay=-. Имея в виду, что
