Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
Порядок перечисления элементов для множеств не существенен. Например, множества {b, d, a}, {a, Ъ, d\, {d, а, Ь) — это по сути одно и то же множество. Если же порядок перечисления множеств является существенным, то в этом случае мы имеем дело не с множествами, а с последовательностями или с упорядоченными множествами. Математические свойства последовательностей существенно отличаются от математических свойств обычных множеств.
Отношение включения между множествами остается неизменным даже в тех случаях, когда изменяется подход к разбиению этих множеств на элементы (разумеется, при условии, что новый способ разбиения применяется сразу ко всем связанным отношениями включения множествам). Преимущественное использование отношения включения в математической модели рассуждений вряд ли устраняет полностью все неприятности, связанные с отношением принадлежности, но во многих случаях позволяет их значительно ослабить. Существуют множества, которые вообще трудно перечислить как совокупность элементов, например "множество хороших поступков". К тому же, если рассматривать отдельные поступки, может оказаться, что разные люди (даже если они считаются компетентными экспертами по поступкам) оценивают их по-разному: один эксперт скажет, что это хороший поступок, а другой оценит тот же поступок как плохой.
Можно для уточнения оценки поступков дать следующее определение хорошего поступка: "Хороший поступок — это такой поступок, который приносит добро хотя бы некоторым людям и не приносит зла никому". Если все наши эксперты согласятся с этим определением, то в некоторых случаях, ориентируясь на него, они могут сблизить свои оценки тех или иных поступков. Далее мы увидим, что данное выше определение хорошего поступка можно математически сформулировать с помощью отношения включения множеств.
С точки зрения математики алгебра множеств относится к классу алгебраических систем, т. е. математических систем, у которых определены некоторые отношения и некоторые операции. В алгебре множеств кроме отношения включения имеется отношение равенства (или эквивалентности). Интуитивно понятно, что два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Но при определении равенства в алгебре множеств можно отказаться от понятия "элемент" и от "неудобного" отношения принадлежности. Тогда получим следующие определения.
Определение 1. Множества А и В равны, если справедливо как А ? В, так и В ? А.
Если множества связаны отношением А <= В или А <= В, то множество А называют подмножеством множества В. Среди всех возможных под-
2. Основные понятия алгебры множеств
17
множеств произвольного множества А обязательно содержится и само множество А. Другими словами, для любого множества А всегда справедливо A S А.
В алгебре множеств особо выделяется и часто используется множество, которое называется "пустое множество" (обозначается 0). Ясно, что пустое множество не содержит никаких элементов. Но это интуитивное определение не раскрывает полностью его сути и роли в алгебре множеств. В большей степени его суть раскрывается в следующем предложении, которое можно отнести к одной из аксиом алгебры множеств: пустое множество включено в любое множество.
Для пояснения смысла этого предложения рассмотрим следующий пример. Пусть А — множество крокодилов. Ясно, что это множество может иметь какие-то подмножества. Например, множество С крокодилов, живущих в зоопарках. Тогда отношение между А и С можно записать как С <= А. Рассмотрим еще два подмножества множества А: подмножество крокодилов, говорящих на русском языке, и подмножество крокодилов, являющихся членами партии "Яблоко". Ясно, что это пустые множества (даже в том случае, если кто-либо предпочитает называть некоторых говорящих на русском языке или некоторых членов партии "Яблоко" крокодилами), и все-таки мы можем их считать подмножествами множества Л. В более серьезных случаях, когда нам надо доказать, что данное множество X не существует (или существует), мы сводим доказательство существования к доказательству отношения X = 0 (или X ^ 0). Часто такое сведение позволяет намного упростить доказательство.
Если множество задано перечислением элементов, то зачастую интерес представляет совокупность всех подмножеств этого множества. Например, для множества А — {а, Ь, с} такая совокупность состоит из восьми подмножеств:
0, {а}, {Ь}, {с}, {а,Ь}, {а, с), {Ь,с}, {а,Ъ,с}.
Обратите внимание, что само множество А является подмножеством самого себя. Известно и простое соотношение, позволяющее сразу же узнать общее число всех возможных подмножеств множества, содержащего Nэлементов. Оказывается, что для любого JVтакое число равно 2N. Например, для нашего множества А — {а, Ь, с] число всех возможных подмножеств равно 23.
Обычно во многих рассуждениях используется некоторый набор множеств. Такой набор называется в алгебре множеств системой множеств. При этом в систему множеств помимо пустого множества включается и универсум, т. е. множество, для которого все множества системы множеств являются подмножествами. Другими словами, системой множеств является некоторая совокупность подмножеств некоторого множества,
