Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
14
2. Основные понятия алгебры множеств
Однако применение Жергонновых отношений в логике связано с рядом трудностей. Главная трудность состоит в том, что практически все типы суждений (за исключением типа E) представляют несколько вариантов отношений; следовательно, при увеличении количества исходных суждений число возможных вариантов анализа возрастает в степенной зависимости. Если рассматриваем сложное рассуждение, содержащее много суждений, то мы должны для каждого суждения просмотреть все возможные варианты Жергонновых отношений. Поэтому для многих логиков и математиков более привлекательными оказались формальные методы анализа, в которых это "проклятие размерности" в ряде случаев (но далеко не во всех) легко преодолевается. Однако работы Эйлера, Жергонна, Венна и многих других стали своеобразной "затравкой" для создания алгебры множеств, которая в современной математике приобрела вид, значительно отличающийся от первоначальных Эйлеровых кругов.
Основные понятия алгебры множеств — множество и элемент. Соотношение между ними называется отношением принадлежности и обозначается знаком Запись х ? А переводится с символического языка как "х является элементом множества А" или "элемент X принадлежит множеству А". Если известны все элементы множества (например, a, b и с), то общепринятой является такая запись множества: А = {а, Ь, с} (перечисление элементов множества принято заключать в фигурные скобки).
В современной математике пока что не предложено однозначного определения структурных свойств отношения принадлежности. Особенно эта неоднозначность проявляется в тех случаях, когда рассматривается система из совокупности множеств. Ее называют системой множеств. Например, рассмотрим три категории людей: англичане, русские и говорящие на русском языке. С точки зрения современного математика, эти категории можно рассматривать как элементы системы множеств.
С другой стороны, наши "элементы" сами состоят из некоторых элементов — конкретных людей. Но если каждого человека можно рассматривать как элемент, изолированный от других элементов множества, то для "элементов" более высокого ранга такая изолированность не всегда имеет место. Во-первых, многие русские есть одновременно и говорящие на русском языке. И очевидно, существуют англичане, которых тоже можно отнести к категории говорящих на русском языке. Получается, что понятие "элемент" для наших категорий людей относится скорее к их названиям или именам, но не к их "объемам".
В некоторых рассуждениях логиков (например, в формулировках ряда парадоксов теории множеств) это различие не принимается во внимание, что и приводит к парадоксу; причина — трудно различаемая двусмысленность. И по-видимому, это обусловлено тем, что в современной теории множеств в общепринятых трактовках понятия "элемент" отсут-
2. Основные понятия алгебры множеств
15
ствует указание на то, что каждый "элемент", если он одновременно является множеством, не должен содержать элементов, которые одновременно были бы элементами других "элементов" более высокого порядка.
Спор на эту тему завел бы нас слишком далеко. Поэтому рассматриваемый новый методический подход к моделированию и анализу естественных рассуждений основан не на отношении принадлежности, а на отношении включения, структурные свойства которого в современной математике определены достаточно четко и однозначно. Поскольку структурные свойства отношения принадлежности в настоящее время не определены, мы будем его использовать лишь в случаях, не допускающих разночтений. У нас просто не будет места ситуациям, когда мы должны представлять некоторое множество как элемент другого множества или как элемент самого себя. Этого вполне достаточно для того, чтобы избежать целой серии парадоксов, известных как "парадоксы теории множеств", которые появились и стали поводом для бурных дискуссий в начале XX века.
Рассмотрим отношение включения множеств более подробно. Допускаются два несколько отличающихся варианта этого отношения:
<= — строго включено;
Я — включено или равно.
Запись А <~ В означает, что множество А включено в множество В, но при этом невозможно равенство этих множеств. Запись Ая В означает, что множество А включено в множество В, но при этом не исключается, что они могут быть равными. По сути, записи А <= В и А я В означают, что все элементы множества А являются также и элементами множества В. Изображение отношения включения с помощью кругов Эйлера показано на рис. 2. В данном случае не обязательно использовать правильные круги. Для изображения множества может подойти любая замкнутая фигура.
Рис.2
Если множества заданы с помощью перечисления элементов, то отношение включения (или невключения) одного множества в другое множество можно легко установить, если сравнить элементы этих множеств. Например, если заданы множества
P= {а, Ь, с, d, е); Q={b,d,a}; R = {а, с,/},
то можно легко установить, что Q Р, но в то же время отношение йс P Для этих множеств неверно.
16
2. Основные понятия алгебры множеств
