Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
3) Множества чисел, упорядоченных по величине (Num). Для простоты ограничимся случаем, когда наименьший элемент равен О, а наибольший — конечное положительное число. При этом общность не нарушается, поскольку любой замкнутый конечный интервал [а, Ь] можно однозначно отобразить в интервал [0,/(6)], где f{x) = X - а. Квазидополнением любого числа у = fix) этого множества является число fib) - у. Нетрудно доказать, что в замкнутом интервале [0, fib)] для любого у всегда выполняются свойства (i)-(iii), а свойство (iv) не выполняется при у < 0.5/(6).
4) Множества с отношением доминирования (Dom) представлены
векторами типа (х\,Х2.....х\, х„), в которых каждому "месту" і
(назовем эти "места" координатами) приписан элементу соответствующего у-множества с квазидополнениями. Обычно класс Dom исследуется и применяется для случаев, когда каждая координата относится к классу Num. Но вполне возможны системы класса Dom, в которых разным координатам соответствуют системы у-множеств разных классов. Наименьшим элементом у-множества класса Dom является вектор (О], Ог,0„), а наибольшим — вектор (i(, I2,1я), где 0, и Ij1 і = 1, 2,и — соответственно наименьший и наибольший элемент в і-й координате. Пусть для любых двух векторов AuB у-множества, принадлежащего классу Dom, отношение А < В справедливо тогда и только тогда, когда для любой координаты і справедливо я, < bj (здесь знак < используется для обобщенного обозначения разных покоординатных отношений частичного порядка). Квазидополнением любого вектора в этом множестве является вектор, состоящий из квазидополнений компонент исходного вектора. Тогда свойства (i)-(iii) вы-
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
101
полняются во всех случаях, а для того, чтобы во всех случаях выполнялось свойство (iv), необходимо, чтобы оно выполнялось bo всех координатах. Из этих примеров видно, что квазидополнения с указанными свойствами можно определить для многих известных классов у-множеств. Заметим, что при этом классы Div и Dom могут быть представлены множествами, не являющимися решетками. Это же относится и к классу Set в тех случаях, когда система не является полной булевой алгеброй, т. е. в ней не определены некоторые пересечения и объединения изначально заданных множеств. Назовем у-множества с квазидополнениями ОС-структурами. Класс у-множеств, в которых всегда выполняется свойство (iv), мы выделим особо как частный случай и назовем его логической структурой Эйлера (название обусловлено тем, что эти структуры соответствуют кругам Эйлера и, кроме того, в них используются методы теории графов, становление которой также связано с именем Эйлера) или сокращенно Е-структурой.
3. Основные определения и свойства ОС-структур
Пусть !,о. La, La,... — множество литералов <2С-структуры, т. е. терминов, обозначающих не равные 0 или і компоненты структуры и их квазидополнения. Тогда каждая QC-структура может быть задана произвольной совокупностью предложений типа
LiO ~* (Lu, L-Q,Lin),
где символом —»¦ здесь и далее обозначено отношение порядка в данной QC-структуре.
Предложения указанного типа назовем суждениями, поскольку они являются обобщением известных типов суждений силлогистики [Кулик, 19976; 1999]. Каждое суждение можно разложить на множество L1o ~* Ln, Lm —* La.....ію -* Lin элементарных суждений. При этом очевидно, что 0 -* L и L —*¦ і для любого литерала L. Далее для упрощения мы не будем показывать в примерах QC-структур обязательные элементы 0 и 1, считая, что они присутствуют по умолчанию. Будем называть базовыми литералами все литералы исходной QC-структуры, в состав которых не входят 0 и 1.
Данное представление QC-структур можно рассматривать как аксиоматическую систему, аксиомами (посылками) которой является некоторая произвольная совокупность суждений, а правила вывода и методы проверки корректности (совместимости) и полноты основаны на свойствах этих структур. В дальнейшем термин "()С-структура" ("/!-структура") в тех случаях, когда это не вызывает разночтении, мы
102
Приложение Б. Частично упорядоченные множества
будем использовать и для обозначения преде ґавлений соответствующих систем. Начнем с правил вывода. Они основаны на свойствах (іі) и (iii) квазидополнений и на свойстве транзитивности у-множеств.
Определение Б.1. Правилами вывода QC-структуры Г являются следующие:
правило С (контрапозиции): если в Г пара (X, Y) литералов связана отношением X — У, то следствием является отношение Y — X;
правило T(транзитивности): если в Г тройка (X, Y, Z) литералов связана отношениями X— Y и Y -* Z, то из этого следует отношение X -+ Z.
Естественным дополнением этих правил является равенство X = X (свойство (іі) квазидополнения). Оно используется в тех случаях, когда после применения правила С появляется не существующий в структуре литерал X. Все отношения между литералами, полученные из посылок с помощью правил вывода, будем называть следствиями.
Определение Б.2. СТ-замыканием произвольно заданной QC-структуры Г называется построенная из Г с помощью правил вывода система Гсг, в которой содержатся все посылки и все следствия Г.
