Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
47
есть А", а суждение "Некоторые А не есть Е" — суждению "Некоторые не-? есть Л". Данная особенность частных суждений была в свое время отмечена Льюисом Кэрроллом [Кэрролл, 1973]. Она легко обосновывается, если проанализировать частные суждения с помощью Жергонновых отношений (см. раздел 2).
С учетом сказанного частные суждения Аристотелевой силлогистики выражаются в понятиях Е-структур следующим образом. Введем некоторый новый литерал в наше рассуждение (например, W). Тогда аристотелевское суждение "Некоторые А есть В" можно в Е-структурах представить как W'—* (А, В), а суждение "Некоторые А не есть В" — как W-* (А, В). С точки зрения алгебры множеств эти суждения соответствуют формулам: W= (А п В) и W= (А п В).
Для сравнения приведем общепринятую формулировку частных суждений, используемую в математической логике: 1) Зх {А(х) А В(х)), и 2) Зх(А(х) A-1E(X)), которые содержательно можно выразить так: 1) "Существует хотя бы одно значение переменной х, которое содержится одновременно в предикатах А и В" и 2) "Существует хотя бы одно значение переменной х, которое содержится одновременно в предикате Лив отрицании предиката В". Если в приведенной формулировке заменить предикаты на множества, то получим формализацию частных суждений на основе алгебры множеств. При этом для решения задач моделирования и анализа полисиллогизмов на основе Е-структур отпадает необходимость использования кванторов и переменных. Такое упрощение позволяет значительно расширить аналитические возможности метода.
Определение 14. Экзистенциальным называется суждение, в котором утверждается в посылках или доказывается в следствиях непустота пересечения двух или более множеств, обозначенных соответствующими базовыми литералами.
Из этого определения становится понятной идея обобщения частных суждений Аристотелевой силлогистики: к таким суждениям относятся суждения, у которых на месте субъекта размещается некоторый новый литерал, а число предикатов суждения может быть любым. По сути, экзистенциальное суждение соответствует одной из его нестандартных форм: X Г) Y п ... п Z * 0 (см. раздел 3).
В предыдущих разделах для получения следствий мы использовали правила вывода, которые соответствовали структурным свойствам отношения включения в алгебре множеств. Но для вывода экзистенциальных суждений этих правил недостаточно. Здесь требуется иная постановка задачи, а именно: в конкретной Е-структуре необходимо доказать,
48
6. Экзистенциальные суждения
что пересечение некоторых множеств при заданных исходных посылках не является пустым.
Поэтому и методы решения задачи вывода экзистенциальных суждений значительно отличаются от методов вывода общих суждений. К изучению этих методов мы и приступим. Мы будем использовать понятие "СГ-замьгкание" (см. определение 9 в разделе 3), определив некоторые новые его свойства.
Но прежде рассмотрим одну ситуацию, которая может ввести в заблуждение при использовании экзистенциальных суждений в качестве посылок. В разделе 4 мы рассматривали пары контрарных суждений типа Л —* В и А —> В, при совмещении которых в рассуждении образуется коллизия парадокса. Попробуем "ослабить" второе суждение, т. е. сформулировать его не как общее, а как частное суждение W —* (А, В). Наша Е-структура в этом случае будет такая: А—* В; W~*(A, В).
Если применим к этой Е-структуре известные нам методы анализа, то в результате получим коллизию парадокса W~* W. Из нее следует, что множество "некоторые Л" в этой Е-структуре должно быть равно пустому множеству. Аналогичная ситуация возникнет, если мы преобразуем в частное не второе, а первое суждение. Полученная Е-структура (W-* (Л, В); Л —" В) тоже окажется парадоксальной: при выводе всех следствий мы вновь придем к той же коллизии парадокса W—* W. Пары таких суждений оказываются логически несовместимыми. В традиционной логике их отличают от контрарных суждений и называют контрадикторными.
Совсем другая ситуация получится, если мы совместим в одном рассуждении два частных суждения "Некоторые Л есть В" и "Некоторые Л не есть В". Если мы представим эти суждения в обозначениях Е-структур, т. е. как W~* (А, В) я W-* (А, В), результат окажется тем же самым: в следствиях появится та же коллизия парадокса W-* W. Однако попробуем рассмотреть конкретные формулировки, например, "Некоторые грибы ядовиты" и "Некоторые грибы не ядовиты". Ясно, что эти два суждения в естественном языке вполне совместимы. Почему же тогда при их формализации возникает коллизия парадокса?
Ответ очевиден: в разных предложениях одно и то же словосочетание "некоторые грибы" может обозначать разные виды грибов, но при формализации эти, возможно, разные виды грибов мы обозначили одним и тем же символом W. Отсюда ясно, что при повторении в разных посылках одинаковых словосочетаний "некоторые X" мы должны обозначать их разными символами. Посмотрим, что получится в этом случае. Пусть даны посылки W] —> (Л, В); W2 ~* (А, В). Построим для них стрелочную диаграмму (рис. 19) и все возможные следствия из этих посылок (рис. 20).
