Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
"Все деревянные предметы имеют форму куба" (E^* С).
"Все предметы зеленого цвета — пластмассовые" (К —* С).
'Все предметы красного цвета — деревянные" (К —* E).
Требуется определить, какие сочетания свойств невозможны для предметов, находящихся в этом ящике. Нарисовав схему для исходных суждений (рис. 14), добавим в нее контрапозиции исходных суждений (рис. 15).
40
4. Коллизии в рассуждениях
4. Коллизии в рассуждениях
41
Е? С~К
ECK Рис. 14
Нарис. 15 отчетливо видны два цикла] і?-* С~* К~* EnE-* К^> C-* Е. Отсюда делаем вывод, что свойства Е, С, К присущи одному и тому же множеству и не присущи по отдельности другим множествам системы. То же самое можно сказать и относительно свойств Е, К, С. Из этого следует, что в ящике могут находиться только деревянные красные кубы и пластмассовые зеленые шары, а все остальные сочетания свойств (их оказывается шесть) исключаются.
При появлении коллизии цикла в Е-структурах наблюдается одна интересная закономерность. Если продолжить дальше вывод всех следствий, используя только правило транзитивности, то окажется, что все вершины графа, включенные в цикл, соединятся друг с другом неориентированными связями по принципу "каждый с каждым". Например, ситуация, приведенная нарис. 15, при дальнейшем использовании правила транзитивности, приведет к ситуации, показанной на рис. 16. Если же у нас появится цикл, содержащий большее число вершин, то добавятся дополнительно новые неориентированные связи. Например, цикл на рис. 17 при этом превратится в неориентированный граф, показанный на рис. 18.
-В
-D Рис. 18
Графы, в которых все вершины соединены по принципу "каждый с каждым" неориентированными связями, называются в теории графов полными графами. Если такой полный граф входит в состав еще какого-то графа, то данная подструктура называется полным подграфом соответствующего графа. Для Е-структур существование полного подграфа в СГ-замыкании означает, что все вершины, включенные в эту подструктуру, соответствуют одному и тому же множеству, и поэтому все литералы этой подструктуры можно считать эквивалентными.
Анализ коллизий позволяет нам разделить все типы Е-структур на два класса: корректные и некорректные Е-структуры. Закрепим эту классификацию с помощью строгих определений.
Определение 11. Е-структура называется корректной, если в ней не содержится никаких коллизий, в противном случае такая Е-структура называется некорректной.
Определение 12. Некорректная Е-структура называется парадоксальной, если в ней содержится коллизия парадокса, и непарадоксальной — в противном случае.
В заключение этого раздела рассмотрим еще одну коллизию, которую мы специально не выделили вначале потому, что она по своему статусу отличается от коллизий парадокса и цикла. Рассмотренные ранее коллизии можно считать чисто формальными коллизиями, так как они выявляются только на основе сведений, которые содержатся в исходных посылках. Представим теперь ситуацию, когда мы из исходных посылок вывели какие-то следствия и оказалось, что коллизии отсутствуют. Однако мы проверяем наши следствия. И вполне возможно, что в следствиях содержатся сведения, которые вступают в конфликт с нашими знаниями. Если у нас есть строгие основания для того, чтобы считать наши знания истинными, то в этом случае можно для данной Е-структуры установить еще один тип коллизии, который мы назовем коллизией неадекватности.
Примеры коллизий неадекватности нередко встречаются в процессе исторического развития научного знания. На определенном историческом этапе в научной картине мира имеется некоторая теория, объясняющая многие известные факты или результаты экспериментов. Но наука находит некоторые новые факты; многие из них соответствуют существующей теории (т. е. являются следствиями ее исходных положений). Вместе с тем иногда появляются факты (или экспериментальные исследования), противоречащие следствиям существующей теории. И эти противоречия как раз и есть то, что мы назвали коллизией неадекватности. И тогда в науке наступает этап споров и дискуссий, который предшествует рождению новой теории. В данном случае коллизию неадекватности можно считать инициатором новых научных открытий.
5
Инварианты Е-структур
В математике и логике инвариантом системы принято считать некоторое свойство, остающееся неизменным при выполнении определенных преобразований в системе. Для Е-структур примем в качестве такого преобразования построение ее СГ-замыкания, т. е. добавление к исходным посылкам всех возможных следствий, полученных с помощью правил вывода. Оказывается, что к одному и тому же СГ-замыка-нию нередко приводятся разные на первый взгляд системы исходных посылок. В то же время может оказаться, что некоторые незначительно отличающиеся друг от друга системы посылок имеют принципиально отличающиеся СГ-замыкания. Все это позволяет считать СГ-замыкание некоторой обобщающей характеристикой (логическим инвариантом) рассуждения, заданного ^"-структурами.
Предположим, что ^-структура R задана своими исходными посылками. Выделим какую-либо из этих посылок (например, А —» В) и представим, что вместо нее в ^-структуру R введена в качестве посылки ее контрапозиция (т. е. посылка В —>¦ А). В этом случае суждение А —> В будет уже не исходной посылкой R, а ее следствием, но в СГ-замыкании структуры R обе эти посылки будут присутствовать и в первом, и во втором случае. При этом окажется, что и все СГ-замыкание !!-структуры R при такой замене останется неизменным.
