Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
Логический вывод на основе математической логики производится в следующей последовательности: вначале выбирается некоторая система исходных аксиом и некоторое предложение, которое считается предполагаемым следствием. После этого с помощью довольно сложной процедуры проверяется, является ли данное предложение следствием этих аксиом. Таким образом, если мы хотим, допустим, доказать теорему, то мы вначале должны получить формулировку этой предполагаемой теоремы. Если же мы используем Ii-структуры, то нам нет необходимости заниматься недетерминированным поиском предполагаемых "теорем" — все они выводятся из исходных посылок с помощью сравнительно простой процедуры.
Теперь познакомимся с еще одним основным понятием f-структур. В граф исходной ^-структуры добавим все возможные следствия. Пример такого графа показан на рис. 9. Он играет важную роль в теории f-структур и в силу этого получил специальное название.
Определение 9. CT-замыканием ^-структуры называется граф, в котором содержатся все посылки этой структуры и все ее следствия.
Происхождение названия этого графа связано с некоторыми известными понятиями современной математики. В частности, граф, который можно получить из исходного графа с помощью применения правила транзитивности, в теории графов называется транзитивным замыканием данного графа. Поскольку мы используем в ^-структурах при построении СТ-замыкания не только правило транзитивности (T), но и правило контрапозиции (С), то поневоле вынуждены внести некоторые изменения в традиционный термин.
Важное свойство СТ-замыкания — выполнение им роли инварианта для некоторого множества f-структур. Возможны IT-структуры с одина-
3, Е-структуры: определение и основные свойства_ 31
ковой совокупностью терминов, но с разными исходными посылками, у которых тем не менее СГ-замыкания полностью совпадают. Это говорит о том, что данные Е-структуры логически эквивалентны. Кроме СГ-замыкания в f-структурах имеются другие инварианты. С ними мы познакомимся позже.
Сейчас попытаемся выразить СГ-замыкание не в виде графа, а в виде математических соотношений. Кстати, именно так оно выражается и выводится в вычислительной программе, предназначенной для анализа f-структур. И кроме того, как раз такие выражения лежат в основе компьютерных алгоритмов анализа Е-структур.
Для построения формального выражения для СГ-замыкания запишем в отдельных строках все возможные базовые литералы .Е-структуры, поставим против каждого литерала стрелку и после нее запишем открывающую круглую скобку. Для каждого базового литерала выберем из посылок и следствий все суждения, в которых этот литерал находится в левой части (т. е. является субъектом суждения). Затем после скобки запишем все литералы, которые в выбранных суждениях находятся в правой части. После этого скобку можно закрыть. Для нашей первой задачи мы получим следующий набор записей:
с->
(S, Т, R);
с-*
О;
S-*
(О;
S-*
(Т, К);
T-*
(RS, С);
О;
R-*
(S, С);
R-*
(T).
Некоторые скобки оказались пустыми. Для нас это тоже полезная информация — она говорит о том, что данный литерал (в нашем примере это литералы С и Г) не включен ни в один из базовых литералов и каждый из них является "верхней границей" данной структуры.
Каждая строка с непустой правой частью в СГ-замыкании является обычным суждением. Обратите внимание, что некоторые литералы в СГ-замыкании наполнились новым содержанием по сравнению с первоначальным. Например, литерал С пополнился здесь двумя новыми предикатами (TnR).
Для решения задач с использованием Е-структур можно в качестве посылок вводить и некоторые другие соотношения, которые не соответствуют стандартной форме суждения (см. определение 6), но преобразуются в эту форму. К таким преобразуемым формам относятся следующие:
32
3. Е-структуры: определение и основные свойства
3. Е-структуры: определение и основные свойства
33
хп У=0;
X л Yn ... П 0.
Смысл первой формы заключается в том, что два множества не имеют общих элементов. В соответствии с одним из законов алгебры множеств (в разделе 2 он идет под номером 10.4) равенствоX П Y = 0 равносильно отношению X ^ У. Равносильность отношений XnY=Z и X ? Улегко доказывается. Предположим, что верно первое отношение и неверно второе. Последнее означает, что имеется хотя бы одно подмножество X множества X (т. е. xj= X), которое включено в дополнение У, т. е. в F (на основе равенства У = У). Но это значит, что х включено в У, а это, в свою очередь, означает, что х включено как в X, так и в У, что противоречит равенству X П Y= 0.
Таким образом, если известно, что два множества X и У не имеют общих непустых подмножеств, то этого знания достаточно для того, чтобы ввести в систему посылок суждение X-* Y. Например, есл-и нам известно, что некоторое число X находится в интервале Л: 2<х< 12.6, а другое число у — в интервале В: 13Л < у < 21, то из того, что эти интервалы не имеют общих точек, следует, что соотношение между ними в форме суждения будет Л —* В.
