Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Далее остановимся на задачах свитков VII и VIII на измерение расстояний до недоступных объектов или их размеров. Эти задачи практической геометрии (не все, но некоторые) приводят к решению уравнений квадратных и более высоких степеней, например, десятой. Здесь мы приведем только те, в которых решаются квадратные уравнения: это задача 2 свитка VII и задача 5 свитка VIII.
В задаче 2 свитка VII снова рассматривается уравнение типа
ах2 — р = 0.
Условие задачи — «измерить реку с городской башни»:
«Задача о наблюдении за рекой с башни на городской стене. Вертикальная высота 3 чжана. [По отношению] к ее площадке на верхнем этаже ее основание выступает по ширине на 2;чи. Для обороны внизу в песок забита свая, отстоящая от фундамента на 1 чжан 2 чи. Внешняя [часть] сваи выступает над землей на 5 чи, по отношению к основанию ниже его уровня. Во время разлива реки вода доходит до самого основания. В настоящее время вода отступила, но насколько, неизвестно. Человек находится наверху у перил площадки, выставил наружу бамбуковый кнут так, чтобы по наклонной была видна граница воды, — получается 4 чи 1 цунь 5 фэней, когда конец палки как раз совпадает [с ней]. Глаз человека на высоте 5 чи. Как узнать, на какую глубину убыла вода по вертикали и какова длина наклонной по высохшему берегу от самого основания башни до границы воды? Ответ: Вода отступила
222
Рис. 16
по вертикали на глубину 1 чжан 5 135/157 чи; длина наклонной от самого основания башни до границы воды 4 чжана 1 чи» [105, с. 166].
В задаче приведен рисунок, но на нем, к сожалению, отмечены не все данные. По нашей реконструкции данной задачи рассмотрена следующая конфигурация (рис. 16). Пусть ОА — человек высотой /&2, он видит берег реки по лучу зрения ОД; АС — стена, на которой высится башня, ее высота АСя&Н; АВ=а — измеренная часть бамбукового кнута, ЕВ=кг — наземная часть оборонительной сваи, отстоящей от основания башни на расстояние СВ=Ь; СЬ=Ь также известна. Требуется найти расстояние до высоты по откосу СВ=у и вертикальную глубину рва, до поверхности воды ЬМ=СК=х. #
К задаче дано правило, вычисления, т. е. как их описание, так и схемы самих вычислений с пояснениями.
В наших обозначениях алгоритм для у следующий: находится число «дуанъ» (отрезок?)
а#=4,15.30 = 124,5,
Затем три числа «фанъ»:
кэ фанъ 6(аД) = 12-124,5 =1494,
цянъ фанъ ^(аЯ)=5.124,5=622,5,
юй фанъ ]г2Ь=5-12=50. Ищем наибольший общий делитель этих трех «фаней»:
(ЬаН, КхаЕ, /г2Ь) = у=1,5.
После сокращения на общий делитель числа стали называться «определенными коэффициентами» (цзин той) (вместо чисел «фанъ»); в том случае, когда наибольший общий делитель равен 1, числа именуются просто «коэффициентами» (люй). Таким образом, в этой задаче «определенный коэффициент кэ» (цзин/люй кэ) ЬаН/у=9%, «определенный коэффициент цянь» (цзин люй се) /^а/У/у =415, и «определенный коэффициент юй» (цзин люй юй) /&2Ь/у=40.
Далее составляются такие числа:
квадрат для кэ (ЬаЯ/у)2=992016,
квадрат для цянъ (кхаН/у)2 = 172225, их сумма составляет квадрат для откоса
) = 1164241;
223
и еще величина
4 В = + (^fj} = И54945699856,
нужная для образования «делимого», т. е. свободного члена уравнения относительно у. «Делимое» (ши)
А=Н2В=1038451129870400. Число щи» составляется для подсчета коэффициента при х2:
ЪаН_ 9 h±aH_ =413340в
Т ъ т
В таком случае «юй», т. е. коэффициент при х2, равен разности д2 = я • — - ^.hO*L = 611305059600.
7 7 7 7
Снова находится общий наибольший делитель чисел А, А2:
(41д2)-п-24800400.
После всех этих вычислений получаются следующие величины: «определенное делимое» (цзин ши) A /Tj =Л1=41912676 и «определенное юй» (цзин юй) A2/Yi=24649=z д?, или, в наших терминах, уравнение
д*у« — Аг=0, 24649 у2 - 41912676=0. Оно решается с помощью подстановки &1y=z1 тогда z2-A1 = 0, z = >JAv y = zlA1 = sjAjb1;
что к сается определения х (глубин), то для него описан следующий алгоритм. Вычисляются:
«фаць» для глубины ос = h\ у- = 1047816900, затем «юй фань» р = (62 + А1)я ^-=4065681.
Пишется общий наибольший делитель у2=(а, р) =169. После сокращения на него получаются числа-коэффициенты уравнения относительно х: «определенное делимое» для глубины и «определенное юй» для глубины. Уравнение вида
72 72
Оно также решается при помощи подстановки: ^-x=Vt
7г
у2__^__L—о у—^
72 72 ' 72 •
Тогда
224
В задаче 5 свитка VIII уравнение такое: Ч^+2ах — 2я2=0
иди
У^+152х — 11552=0.
30 частное
115520 делимое
1520 полный фан
5 цзун юй
Интересно, что в нем не делают приведения к уравнению с целыми коэффициентами. Эта задача, как и указанная выше задача 2 свитка VII, решена при помощи метода шао-гуан, а также метода то ма.В способе сказано: и шао
гуакъ цюй чжи, то ма шу жу Таблица 27
чжи.
В тексте, описывающем вычисления, сказано, как решать это уравнение. Приведем цитату полностью:
«Извлеки квадратный корень (кай пин фан). Но в способе
указано, что кай то ма пин фан. Установи делимое 11552 наверху, полный фан 152 в средине, цзун юй 5 фэней внизу».
