Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Весь свиток, кроме первой задачи, где метод Горнера подробно описан при решении биквадратного уравнения, посвящен квадратным уравнениям, как неполным, так и полным, в том числе с коэффициентом при квадрате неизвестного, отличном от 1. В задачах 2—4 решены уравнения типа я2 — Р=0; в задачах 5—6 полные квадратные уравнения, причем корни уравнений находятся приближенно. Рассмотрим эти задачи подробно. Задачи остальных свитков можно затем классифицировать согласно этим задачам свитка V.
Задачи 2—4 тесно связаны между собой, их решение основано на формуле для площади треугольника, определяемой по трем его сторонам (аналог формулы Архимеда — Герона). Этот алгоритм описан в задаче 2, где рассмотрен непосредственно треугольник с известными сторонами а, Ъ, с, причем а ^> Ъ > с; его площадь
Г~ /с2 + а2 — 62\2
В задачах 3—4 этот алгоритм применен для нахождения площадей четырехугольников, разбитых на пары треугольников, один из которых содержит три известных стороны: с, (I и ъ, при этом ъ ]> д, с (рис. 14). Изложим алгоритм решения уравнения
х* - р=0
(где (3 — подкоренное выражение), приведенный Цинь Цзю-
шао в правилах к указанным задачам 2—4 свитка V. Заметим, что схем вычислений в тексте нет, приведено лишь их словесное описание. Отметим также, что алгоритм для этих задач является решением уравнения по методу Горнера, а не извлечением квадратного корня по формуле бинома. В этом отношении алгоритм Цинь Цзю-шао более последователен, чем алгоритм, предложенный
219
в «Математике в девяти книгах» для извлечения квадратных корней.
В задаче 2 составляется уравнение
х* _ 7056-0.
Схема 1 такая (табл. 24).
Таблица 24
частное
7056 делимое
1 юй
Рис. 14
В шравиле написано: «Возьми юй и перешагни через разряд, будет одна сотня».
%Таким образом, определяется число знаков корня, корень будет двузначным числом. Движением единицы образуется число 100 в строке «юй». В методе Горнера это и^есть подстановка х=10х1.
100ж! — 7056 = 0,
где #! = —ж имеет целую однозначную часть.
Подбираем первую цифру корня: 8 десятков (табл. 25), «Установи над делимым в частном 8 десятков», — говорится в правиле.
100 0 - -7056
8
+800 +6400 100 800 —656 f
800
100 1600 Получаем уравнение 100г/2 +1600?/— 656 = 0.
Далее осуществляется подстановка: у=УхИ0, тогда получается уравнение
У\+тУ1 - 656-0,
у которого уг=х — 8 или х =^+8.
Далее подбором находим оставшуюся часть корня. Пусть уг=*4. Проверяем (табл. 26),
Определяем:
1-4 + 160 = 164, 164.4 = 656.
Корень извлекается точно: а?=84.
220
Таблица 25
Таблица 26
8 частное
7056 1 делимое юй
84 частное
656 164 1 делимое цзун фан юй
В тексте написано: «Далее над делимым продолжай [устанавливать] в частном 4 ли. Умножь на [число] юй, сложи с [числом 1 цзун фан, получится 164. Итак, объяви частное, раздели делимое, как раз будет без остатка. То, что получилось, 84 ли, будет площадью поля».
В следующих задачах 3 и 4 подобных вычислений корня нет, просто в правилах указано: «Извлеки квадратный корень». В задаче 3 (см. рис. 15) корень извлекается дважды, но числа простые:
я = х/262 — 242= 10,
где х — катет прямоугольного треугольника со сторонами а=26, /г=24, а также 6=17, с=15, <2=20. Тогда, применяя формулу для площади, получим 52 - 22500=0, 5=150. Г
В задаче 4 уравнение сложнее: \^
52 - 2039184000000=0, 5=1428000.
Рис. 15
Здесь в тексте ошибочно написано, что 5=142800. Это уравнение, несомненно, нуждается в подробных схемах решений, однако Цинь Цзю-шао их не помещает.
В задачах 5 и 6 изложено приближенное определение корней.
«Некоторое поле в виде бананового листа [имеет] длину посередине 576 бу, ширину посередине 34 бу. Обвод его неизвестен. Найти, сколько му содержится в площади [поля] Ответ: Площадь поля 45 му 1 цзяо 11 бу 5213/63070 бу» [105].
В задаче описана фигура, состоящая из двух круговых сегментов с общим основанием (рис. 15). Китайское правило определяет площадь данной фигуры 5=#/2, где х — корень уравнения
х2+ах+$=0,
и
а = (у)' — (-|-)2 = 82655, ? = (I + д)*\10 = 2269810000.
Цинь Цзю-шао получает х 21742, приближенное значение корня уравнения!
х2 + 82655я — 2269810000 = 0. В следующей задаче 6 свитка V рассматриваются два полных квадратных уравнения с коэффициентом, отличным от 1 при квадрате неизвестного: <хх2+$.х — у=0.
221
В этой задаче решены два уравнения и притом приближенно; 9я2+5100а; — 322500=0,
где х=1г1ж57;
528381 ж2 + .360096600я — 18933652500 = 0,
где ж=Ла«49, остаток 20276319.
Далее рассмотрим решение уравнений типа
ах2 — $=0
в работе Цинь Цзю-шао. Корень находится не по формуле: х=\/$/аг а с помощью подстановки ах=у приходят к уравнению
у2 - ар=0,
где у — \1а$ и х = у 1а = \/а(3/а.
В задаче 2 свитка VI решается шесть неполных квадратных уравнений типа
с приближенными корнями и одно уравнение четвертой степени [25], В задаче 3, последней в данном свитке, также найдено приближенное решение уравнения [25].
Таким образом, задачи свитков V и VI на «Измерение полей», или, как они озаглавлены, «Класс задач на границы полей», в книге Цинь Цзю-шао сводятся к решению либо квадратных, либо биквадратных уравнений.
