Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
а2 - 4&с=0,
где не известна а, или, как сказано в правиле: «Извлекать квадрат-ный корень делением»». Решение тривиально: а=\/90000=300. Чтобы получить полное квадратное уравнение, составителям пришлось использовать конфигурацию б.
В задаче 20 заданы с, йу Ь; требуется найти а — х.
«Имеется город в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой [стороны] [находятся] ворота. На расстоянии 20 бу от северных ворот имеется столб. Если пройти от южных ворот 14 бу и повернуть на запад, пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается, какова сторона города? Ответ: 250 бу».
215
Если рассмотреть подобные треугольники ABC и ADE, то уравнение будет следующим:
a*-\-(b + c)z — 2bd=0.
В правиле рекомендуется решать именно это уравнение.
«Количество бу, [пройденное] от северных ворот, умножь на удвоенное количество бу, [пройденное] на запад, это делимое. Сложи с количеством бу, пройденным от южных ворот, это дополненный делитель. Извлеки квадратный корень, это и будет сторона города» [Там же].
Действительно, «делимое» — это свободный член уравнения; «дополненный делитель» — коэффициент Ь-\-с при первой степени неизвестной; и разумеется, что при второй степени стоит 1 — об этом в правиле не написано. Схема на счетной доске имела бы вид (табл. 18).
Таблица 18
2 корень
2bd Ъ + с 71000 34 1 делимое дополненный делитель юй
Схема аналогична схеме извлечения корня, которая предшествует выбору второй цифры, когда уже появились числа в третьей сверху строке. Таким образом, процесс определения корня квадратного уравнения совпадает с процессом извлечения квадратного корня начиная с середины.
В книге Сунь-цзы задач на полные квадратные уравнения нет. Однако в трактате Чжан Цю-цзяня они снова появляются, их две.
Л
Рис. 12
а
В задаче 22 средней книги отыскивается высота К кругового сегмента по известной площади 5 и основанию а (рис. 12):
к2+ак — 25=0
исходя из формулы
> с _ а 4- & - -
[^сегм — —2-—
В правиле к задаче описано уравнение, но текст среднего свитка именно здесь обрывается, так что и следующий свиток начинается
216
неполным условием задачи. Однако сохранившаяся часть правила свидетельствует о том, что при решении данной задачи составляется и решается квадратное уравнение. Величина 25 называется «делимым», а величина а «делителем» (здесь х=К). Схема предполагается следующая (табл. 19).
Таблица 19
X ч корень
17 1029 ш делимое
а 68 | делитель
1 коэффициент при X2
Цянь Бао-цун предполагает, что данное уравнение древние решали, предварительно избавившись от дробных значений коэффициентов путем перевода меры бу в другую меру цунъ: 1^бу = — 60 цуням. В таком случае получается уравнение
я2+4116#=3705760,
и #=760 цуням, или, при обратном переходе к бу, х=12 2/3 бу — число, которое названо в ответе к задаче.
Однако решение могло быть проведено и по-другому. Либо дробные коэффициенты просто ставились в таблицу и вычисления велись с такими числами, т. е. решали непосредственно уравнение
х2 + 68 ±х = 1029н,
либо сначала автор трактата предлагал избавиться от дробных коэффициентов:
45 я2+3087я=46312,
•но тогда следовало уметь решать уравнение квадратное с коэффициентом, отличным от 1, при квадрате неизвестного. К сожалению, текст утерян и мы можем только предполагать, как проводилось решение заданного уравнения. Корень найден точный.
В задаче 9 последней книги трактата Чжан Цю-цзяня вычисляется окружность С нижнего основания усеченного конуса (при тс=3):
С2 + сС + (с2-^) = 0,
где значения букв указаны на рис. 13 (ж=С). Схема следующая (табл. 20).
21?
Таблица 20
X ¦ 18 корень
ЗУ 594 делимое
Рис.13 с 15 1 делитель коэффициент при X2
Или в числах: #2+15#=594, где #=18. В нашем переводе схемы вычислений не приводились, приведем здесь их реконструкцию. Подстановке х=10у соответствует схема (табл. 21) или уравнение
100уа+150#=594.
Первую цифру корня полагаем равной единице и делаем подстановку у=1+р. Тогда уравнение принимает вид
100 (1+^)2+150 (1+р)=Ш;
затем делаем подстановку р=10&, и уравнение принимает вид
/с2+35/с=344,
что соответствует схеме (табл. 22). Таблица 21
Таблица 22
корень
594 150 100 делимое делитель коэффициент при у2
1 корень
344 35 1 остаток от делимого делитель коэффициент при к2
Эти числа в таблице получены так, как если бы они были вычислены по схеме Горнера:
о » 100 ,
В последней строке: -щ- = 1.
Таблица 23
18 18 18 корень
344 344 0 делимое
(43-8 = 344)
35+8 43 43 делитель
1 1 1 коэффициент при X2
218
„ (100- 1) . 2+ 150 о. В строке «делитель»:--~-= оэ.
В строке «делимое»: 594 — [(100.1)+150].1=344.
Далее подбором устанавливается вторая цифра корня, равная 8, и подсчитывается, верно ли сделан выбор. Приведем общую таблицу (табл. 23).
Процесс окончен, корень точный.
15. Задачи,, приводящие к квадратным уравнениям, в сочинении Цинъ Цзю-шао «Девять книг по математике»
В «Девяти книгах по математике» Цинь Цзю-шао квадратные уравнения встречаются в нескольких местах. Прежде всего в свитках V—VI, VII—VIII, а также в свитках XV—XVI сначала в связи с методом Горнера, а затем в связи с арифметическими прогрессиями. Напомним, что Чжан Цю-цзянь избегал таких задач.
