Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
В ответе перевода опечатка. Укажем, что единица площади 1 му=240 кв. бу.
124
их специальное назначение п, дан общий метод приведения дробей к общему знаменателю как наименьшему общему кратному знаменателей дробей.
Если бы китайский вычислитель в этих задачах стал находить общий знаменатель обычным способом, т. е. так, как указано в правиле сложения дробей книги I, то вычисления оказались бы чрезвычайно громоздкими. Здесь особенно целесообразно было
п
взять наименьшее общее кратное чисел (1, 2, 3,.... 12) вместо Ц
Из решений задач, сформулированных словами, ясно, что именно так поступали во всех случаях, кроме задач 5 и 11.
Каким образом дроби приводились к общему знаменателю? Прием, которым пользовались китайцы, прост и изящен. Начиная с самого большого знаменателя, последовательно на него умножали числители остальных дробей. По ходу дела проводили сокращение, и общий знаменатель получался равным не произведению всех знаменателей, но их наименьшему общему кратному. Таким образом пришли к новому математическому понятию — понятию наименьшего общего кратного.
Несколько подробнее о реконструкции этого метода 1а.
Описания решений задач 1 —11 недостаточно подробны. Они начинаются (в наших терминах) с представления дополнительных множителей:
«Правило следующее: имеется восемь дробей, взяв 840 за 1, 420 вместо половины, 280 вместо 1/3, 210 вместо 1/4, 168 вместо 1/5, 140 вместо 1/6, 120 вместо 1/7, 105 вместо 1/8, сложи их, получишь 2283, это делитель» [50, с. 466, задача 7].
Как получены эти числа, можно узнать из общего правила к этим задачам под названием «Шао-гуан», сформулированного в виде алгоритма для счетной доски, на которой производились вычисления. Применим его к приведенной выше задаче 7. Правило начинается словами:
«Расположи целый бу, числители и знаменатели дробей». В нашем примере они представляются двумя рядами чисел:
11111111
2 3 4 5 6 7 8
Китайские строки вертикальны, поэтому знаменатель последней дроби будет располагаться в самом низу и справа. Далее: «Чи-
11 Ли Янь рассматривает эти примеры в связи с толкованием специального термина чжун ю фэнъ — сложные дроби (см. [95, т. I, с. 28]).
^Использование наименьшего общего кратного в качестве общего знаменателя дробей иногда видят в примерах книги I «Математики в девяти книгах». Однако это не так. Выкладки к задачам книги I отсутствуют, а общие правила сложения и вычитания дробей (вместе с комментарием Лю Хуэя к ним) показывают, что значение в ответе, равное наименьшему общему кратному, получалось лишь после сокращения готового результата, т. е. на самом последнем этапе вычислений, и потому данное понятие в этих задачах не применялось (см. [95, т. I]).
125
слители дробей и целый бу умножь один за другим на самый нижний знаменатель», т. е.
88888888 2 3 4 5 6 7 8
или
8 4 8 2 8 8 8 1 3 5 6 7
Некоторые дроби можно сократить — это действие обеспечивает получение наименьшего общего кратного знаменателей-
8 4 8 2 8 4 8 1 3 5 3 7
Особенности задач 5 и 11 заключаются именно в некотором отступлении от этого правила. В задаче 5 не сокращенной осталась дробь 6/4:
111111
2 3 4 5 6
далее
6 3 2 6 6 1 4 5
Возможно, так произошло потому, что эта задача была первой,, где надо было произвести сокращение получающихся промежуточных дробей. В предыдущих задачах было достаточным только деление нацело. Аналогичное упущение в задаче 11, последней из этой группы, объяснить трудно. Оказалась не сокращенной дробь 12/9 в схеме
12 6 4 3 12 2 12 3 12 6 12 1 5 7 2 9 5 И
В результате этих отклонений общие знаменатели по сравнению с наименьшим общим кратным знаменателей увеличились в 2 и в 3 раза. Это, конечно, не очень существенно для вычислений. Эти примеры показывают, что понятие наименьшего кратного еще не окончательно выкристаллизовалось. Следующая фраза правила предлагает: «Если надо сделать приведение к общему знаменателю, то умножить числители один за другим на знаменатели дробей». Очевидно, далее числа верхней строки умножаем последовательно на 7:
56 28 56 14 56 28 8 7
3 5 3
на 3 (возможно, сокращение на 3 производится на ходу) 168 84 56 42 168 28 24 21 5
126 .
я на 5:
840 420 280 210 168 140 120 105
Во второй строке все числа исчерпаны, процедура окончена. Первое число строки всегда выражает общий знаменатель, точнее, наименьшее общее кратное знаменателей дробей. В терминах метрологии первое число указывает, на сколько долей надо разделить основную единицу измерения, чтобы все остальные дробные части этой первоначальной меры выразились целыми числами. Остальные числа и являются количествами, выраженными в этой найденной малой мере.
Далее правило описывает собственно решение задачи, здесь мы его приводить не будем.
От египетской процедуры с красными числами китайская отличается тем, что преобразование заданных долей в более мелкие производится не один раз, но до тех пор, пока все они не будут выражены целыми числами, т. е. выбирается не просто мера, а отыскивается общая наименьшая мера. Поэтому «дополнительные множители» в китайских вычислениях в конце концов становятся целыми числами, а египетские красные числа, вообще говоря, остаются дробными и только в частном случае могут €ыть целыми.
