Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> История -> Березкина Э.И. -> "Математика древнего Китая" -> 56

Математика древнего Китая - Березкина Э.И.

Березкина Э.И. Математика древнего Китая — М.: Наука, 1980. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): berezkina1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 131 >> Следующая

Но вернемся к Китаю, где развитие на аликвотных дробях не задержалось и, более того, наверное, ими фактически не пользовались в том узком, «египетском» смысле; по крайней мере, таких сведений пока обнаружить не удалось. В древнем Двуречье, где обыкновенные дроби не получили развития, так как были вытеснены систематическими, обозначение гс-й, близкое к современному, также показывает исключительность египет-
1
ских аликвотных дробей. Осмысление —-й в качестве одной п-й части
единицы, которая в сумме с остальными (п—1) частями дает единицу, отразилось в китайском термине «полный», «целый» (цюанъ)
см. в табл. 6 название для т^), долгое время употреблявшемся для
8 [23, с. 148, примеч. 1]. Платон высмеивает вычислителей, «которые разменивают единицу на мелкую монету», и говорит, что там, где они делят, ученые умножают, — намек на теорию отношений.
9 [50, с. 463—464]. Этим же термином в «Десятикнижье» обозначается целая часть смешанной дроби (например, см. [50, с. 444]).
обозначения дроби
—9. По-китайски слово «дробь», «доля» (фэнъ)обо-
122
значает также глагол «делить». В «Началах» Евклида дроби называются «частями» (ср. со старорусским названием «ломаная»
для дроби). В нашем чтении —: «т тг-х», также и по-китайски, с той
лишь разницей, что в китайской грамматике определение стоит перед определяемым словом и потому в древних текстах дробь, (буквально) записывается по схеме «п-хт». Здесь и выявляется содержательное понятие дроби. Речь идет о целом числе т некоторых новых единиц измерения, количество которых указывается числителем дроби, а их «качество» (т. е. их определение) указывается знаменателем дроби: п-е. Итак, сначала выполняется деление основной единицы на п частей, а затем берется т таковых.
Это толкование дроби во многих случаях помогало китайцам успешно преодолевать трудности в разработке правил действий с дробями. В противоположность египтянам китайцы не только приводили дроби к общему знаменателю «по-настоящему», но находили наименьшее общее кратное в качестве общего знаменателя. Этот метод весьма остроумен, и его интересно сравнить с египетской процедурой «красных чисел». Идея одна и та же, но в разных случаях проявляется по-разному; развитая до конца, она помогает получить новое понятие в математике.
4. Приведение дробей к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное
Здесь мы просим читателя вернуться к п. 1 этой главы и обратить внимание на китайские алгоритмы, представленные для более легкой обозримости формулами. Они отличаются от современных незначительно, но нас интересует пока одна деталь: при сложении и вычитании дробей общий знаменатель находится просто в виде произведения знаменателей. Это непринципиальное отличие, незаметное для небольших знаменателей при малом количестве дробей, в иных случаях может оказаться весьма ощутимым. Здесь мы рассматриваем задачи 1—11 книги IV «Математики в девяти книгах», в которых хотя и оперируют с дробями,-но совсем иначе, чем в специальных задачах книги I этого же сочинения, правила к которым мы представили выше в п. 1 современными формулами. Назначение рассматриваемых задач весьма неясно, но в них дан метод приведения дробей к общему знаменателю, в котором, по существу, пользуются наименьшим общим кратным. Из анализа вычислений видно, как практически вырабатывалось это теоретико-числовое понятие.
Задачи 1—11 однотипны и сводятся к отысканию стороны единичной прямоугольной площади по известной другой стороне,,
п
которая выражается необычно: в виде ^Т' где п = ^» 3,-...,12.
1
Приведем текст одной из них, 7-й:
123
«Имеется поле шириной 1 с половиной, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7 ж 1/8 бу. Известно, что поле в 1 му. Спрашивается, какова длина? Ответ: 88 233/761 бу». [50, с. 466] 10.
Решения всех таких задач сводятся к делению на дробь: «ели х искомая, то
»
і
где т определяется равенством последовательно для указанных п. Хотя задачи обратны тем, в которых дано правило умножения дробей [50, с. 443—444, книга I, задачи 19—24], сформулированных в геометрической форме (произведение выступает в них в виде площади прямоугольного поля), однако они, по всей видимости, не считались основными для определения деления дробей. Для сравнения приведем одну задачу на умножение дробей из книги I «Математики в девяти книгах»:
«Имеется другое поле шириною в 7/9 бу, длиною в 9/11 бу. Спрашивается, каково поле? Ответ: 7/11 бу» [50, с. 443, задача 20].
Эти две задачи обратны друг другу, но задачи 1—11 книги IV тем не менее не могут служить примерами, демонстрирующими деление дробей.
Во-первых, в них показано лишь деление целого на дробь, и, конечно, для этого не было необходимости решать одиннадцать однотипных задач — слишком неэкономно для лаконичных древних текстов. Во-вторых, задачи на деление дробей уже содержатся в книге I «Измерение полей» [50, с. 443, задачи 17—18]. Там они к месту, тогда как книга IV посвящена извлечению корней. В книге I древнего сочинения содержатся все действия с дробями, включая и алгоритм Евклида попеременного вычитания, примененного для сокращения дробей. Правда, задачи на деление отличаются от остальных своими формулировками, но в них полностью рассмотрено как деление целого на дробь (задача 17), так и деление дроби на дробь (задача 18). Деление в них представлено распределением монет между людьми, а не в геометрическом виде (см. п. 6). В-третьих, не случайно оригинальное задание известной стороны в виде суммы аликвотных дробей (в подлиннике буквально пишутся по-современному: «п-я одна», т. е. они по определению не «египетские»). Благодаря такому заданию на первый план выдвигается процедура подсчета суммы этих дробей и отодвигается на второй план операция деления, хотя последняя и представляет собой большой интерес — мы к ней еще вернемся ниже. По существу, в задачах 1 — 11 книги I «Математики в девяти книгах», каково бы ни было
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed