Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
119
ных 1/3, 1/2, 2/3 (шаобанъ, чжунбанъ, тайбанъ), употреблялись *еще названия для 1/4, 3/4: «половина с недостатком» (жобанъ), «половина с избытком» (цянбанъ), как сообщает Чжу Ши-цзе в книге «Суань сюэ ци мен», 1299 г. [95, т. I, с. 20].
Следующий этап развития понятия числа — это появление 1/п, для которых существовали также специальные названия. В древности ими наделялись как основная 1/п, так и дополнительная (п—1)/п дроби. Действительно, в словах «третья», «четвертая» для 1/3 и 1/4 подразумевается последняя доля при делении целого на указанное число частей. Так мы говорим при перечислении трех объектов о «третьем человеке», «третьем апельсине» и т. д. Аналогично все остальные п-е доли, которые дополняют (ri—1)/п до единицы, обозначались количеством оставшихся долей данного разбиения единицы. Например, для 2/3 термин «две части», для 3/4 — «три части», для 11/12 непосредственно
Таблица 6 Таблица названий двенадцатых долей
Дробь Китайское название Перевод Представление
1 12 цян С избытком 1 1 4 * 3
2 1 12 = 6 шао жо Меньшая с недостатком 1 2 4 ' 3
3 1 12= 4 шао Меньшая (половина)
4 1 12— 3 шао цян Меньшая с избытком 1 1 1 4 + 4*3
5 12 бань жо Половина с недостатком 1 1 2 Т + 4 'Т
6 1 12—2 бань Половина
7 12 бань цян Половина с избытком 2 1 4+12
8 2 12 — 3 тай жо Большая с недостатком 2 1 2 4 + 4*3
9 3 I2= 4 тай Большая (половина)
10 5 12 = 6 тай цян Большая с избытком 3 1 4+12
11 12 и ченъ жо Полный цикл с недостатком 3 1 2 4 + 4*3
^-1 12 —1 цюань Полная
120
указано «без одной». То, на сколько делится единица, при этом не указывается в названии — и так известно, о каких долях: ведется речь.
3. Дробь как мера или именованное число
Несомненно, дробь происходит от деления. Однако не ОТ ТОЙ: операции в абстрактной форме, которая имеется в виду, когда в теоретической арифметике строится поле рациональных чисел над кольцом целых чисел как такая числовая область, в которой выполнялись бы все четыре арифметических действия. В представлении древних деление было наполнено конкретным содержанием, и потому одно «деление» отличалось от другого: было ли это нахождение четвертой пропорциональной, или задача на распределение некоторого количества между различными объектами, или просто раздробление единицы измерения на более мелкие доли. Каждая из задач определяла свой подход к понятию дроби, хотя с нашей точки зрения задачи не различаются между собой, поскольку все они сводятся к одному действию — делению.
Разберем сначала последний случай: рассмотрим именно ту задачу, которая является, по существу, частным случаем общего деления А на п, когда А = 1. Этот класс задач имел самостоятельное значение в формировании понятия дроби. Он находил наиболее яркое истолкование в метрологии, когда в процессе измерения для более точной оценки требуется размельчить основную единицу на более мелкие п частей.
Невозможно указать, когда был совершен переход от деления только на 2 или 3 части к делению единицы на любые п частей. Этот момент был началом качественно нового этапа в развитии дроби. Он знаменовал собой введение дроби не как еще какого-то числа в дополнение к целым числам, но именно как дробного, нецелого, раздробленного числа, части целого.
На этом новом этапе 1/п стала символизировать новое число, в котором деление уже было явным, а не маскировалось под собственным именем натуральной дроби. Она свидетельствовала не о случайном (на 2, 3, 4, 12 частей), а регулярном процессе деления единицы (на п=2, 3, 4, . . .), который порождал не ограниченное количество дробей, но бесконечное их множество. Процесс позволял производить действительное или мысленное измерение не «на глазок» (остаток в виде половины или немногим больше, меньше половины), а более точно, при помощи регулярного введения все более мелких мер. Именно в последнем случае появляется вероятность возникновения систематических дробей (если делить на степени основания счета). В результате такого понятия дроби как меры, как доли целого множество целых чисел пополняется множеством дробных долей.
Однако появление одной п-й в виде новой меры означало лишь самое начало (подчеркнем это особо) формирования поня-
121
тия дроби в общем виде. Хорошо известно, что в древнем Египте, где знали лишь эти аликвотные дроби Un, дробей как таковых все же не было.
Главным вычислительным постулатом у египтян было обязательное представление дробного числа суммой основных, алик-вотных дробей (обычно обозначают их через /г), конечно, неодинаковых. Поэтому центральной задачей древнеегипетской вычислительной практики была разработка таблицы 2/п, разгадке тайны которой посвящено так много исследований [82, 155, 171 и др.]. Иными словами, древнему египтянину предстояло для этого прийти к простой, но замечательной идее о том, что удвоенное произведение 2п и есть частное от деления 2 на п [23, с. 30]. И поскольку действия в древнеегипетской математике были построены в основе своей на бинарной процедуре (удвоение, раздвоение и сложение), то деление сводилось в конечном счете к задаче о дополнении дробного чистка, т. е. некоторой суммы дробей вида п до 2. Именно в этой задаче особую роль играли так называемые красные числа (они писались красным лаком в отличие от остальных), в некотором смысле аналоги дополнительных множителей при приведении дробей к общему знаменателю. Красные числа убедительно доказывают отсутствие современного понятия дроби в древнеегипетской математике. Сами красные числа могли оказаться дробными (т. е. суммой аликвотных дробей), потому что за общий знаменатель выбиралось не общее кратное, но просто больший знаменатель. Таким образом, эта числовая процедура заменила наше приведение дробей к общему знаменателю представлением разных дробей в масштабе некоторой минимальной доли: п-я была не дробью, а «мелкой монетой» 8. Вот почему древнему египтянину было не просто догадаться о тождестве.
