Сейсмические морские волны. Цунами - Мурти Т.С.
Скачать (прямая ссылка):
197
увеличивается с ростом пройденного расстояния, но уменьшается с течением времени на данной станции.
I ,1_LU_I-1-1-1-1-L-
20 0 5 10 15 20 0 5 10
Рис. 4.9. Записи прилива для цунами чилийского землетрясения 23/V 1960 г. (/) и аляскинского землетрясения 22—27/ЇІІ 1960 г. (//).
а — Виктория, б ~ гавань Фулфорд, в — Тофино, г — зал. Алерт, д — Принс-Руперт Предвестников цунами не видно.
Теория Манка показала, что период предвестника пропорционален /,
D4'dx, (4.70)
и обратно пропорционален корню квадратному из времени. В выражении (4.70) g — ускорение свободного падения; D (х) — глубина океана; х — направление движения цунами.
198
Первоначальный отход воды. В популярной и научной литературе много написано о первоначальном отходе воды до прихода цунами на побережье. После тщательного изучения сотен записей цунами я сделал вывод, что хотя можно привести множество примеров первоначального отхода воды имеется также множество примеров, когда такого отхода не происходило.
Я не могу составить какого-либо определенного мнения по этому вопросу. Однако упомяну теорию Черкесова, согласно которой при учете вязкости при вычислении формы свободной поверхности возникает волна понижения, которая появляется перед головной волной цунами. При этом влияние вязкости на главную волну цунами довольно мало (оно может уменьшить ее амплитуду на 2 %). Если же вязкость не учитывать, то понижение перед основной волной не возникнет.
Спилфогел [593] теоретически показал, что в некоторых случаях набегание воды на пляж вызывается отрицательной волной, за которой следует положительная волна.
Рассмотрим двумерный поток на наклонном пляже. Пусть V*, т]*, X* и t* — соответственно скорость, возвышение уровня, горизонтальная координата и время (* означает, что рассматриваются размерные величины).
Введем безразмерные величины:
V* = V0V; x*~Lx;
7]* = ?Lri; t* = Tt, (4.71)
где L — характерная длина; g — ускорение свободного падения; ? —уклон пляжа.
Введем также обозначения:
(4.72)
Спилфогел преобразует координаты X1 t в новые координаты а, К
^в4-зг*<". <4-73)
х = — -5Г»-— —W' (4-74>
у' = — -щг^-—; (475>
t = ±—V, (4.76)
где а ^ 0. Смысл этих преобразований заключается в том, что а = 0 дает мгновенное положение береговой линии, a A = O — начальное время.
199
В плоскости а, Я уравнение движения для мелкой воды имеет вид
д2 02 3d
(Sr-*—T-S)V-O. (4.77)
или
Для обратного перехода на плоскость я, t следующий якобиан не должен быть равен нулю в области собственных значений;
Кэрриер и Гринспан [109] дали следующее решение для выражения (4.78):
OO
при
где
/(т)= j 4а/, (GT)(T20)^a, (4.81)
Ы. = Ч(«, O) (4.82)
дает первоначальную форму. Из вышесказанного можно вывести следующие формулы:
OO
ъ (a, X) =--lr\ J0 (та) COS (тХ) / (т) dz (4.83)
V (a, X) = \ -L /і (та) sin (тХ) / (т) dz. (4.84)
Спилфогел задает набегание в виде
4(JC, 0) = Ael6pix'A\ (4.85)
где А — амплитуда набегания, положительная и достаточно малая для удовлетворения выражению (4.79). Здесь р — также положительная величина, являющаяся мерой ширины набегания; она должна удовлетворять выражению (4.79). Для опреде-
200
ления начального условия в качестве функции от параметра о можно преобразовать выражение
а*=1б[Ае16р{х-А)-х] (4.86)
в выражение вида х(о). Однако вместо этого можно начать со следующей первоначальной формы:
% = ^К O) = ^1 Л>0; (4.87)
таким образом,
X0 = х (а, 0) = Ае-р°' - 4- = Ti0 + -±- in (Jf), (4.88)
что дает
T10= Ае16р{х-^ (4.89)
в качестве начального условия. Тот факт, что значение рА мало, означает, что параметр T]0 удовлетворяет выражению (4.85) всюду, за исключением малой области вблизи G = O. Тогда
Ч„ ~Ае™Рх (4.91)
0 < (ЧоЪ = 1+еР„/(16рл) < 1 • (4.92) Если 16рЛ<С1, то
(т]0Ь«16Лр = %|в==0. (4.93)
При этом начальном условии можно оценить выражение (4.81), откуда
/(x)=-^e-tV4/4 (4.94) Тогда решения имеют вид
OO
V = - J <ze~xtIAp Jx ы sin (та) dx; (4.95) Qp о
OO
731 = TF S ^"'^о («) cos (-A) rfx; (4.96)
^ О
ъ = ъ-^-; (4.97)
* = 4" -^- (4-98)
201
Для численных расчетов удобно записать решение в виде
OO OO
1/ — RnAl У V (-4p*2)J(-P«2)*(s + fe + l)t /4 ШОч
К = ^ ^-(2s+l)!(*)l(* + l)l-* (4'1UU)
Оба уравнения в принципе сходятся. Но на практике из-за ошибок округления их использование ограничено случаем малых значений ро2 и рК2. Спилфогел представил решение в другом виде, предварительно введя определения
J6-<'->'> ^ = JgL erf (-/а) =
О
_ У (~4*2)"*1 у__ (4101Ч
12л+ 1)! ~* л^о(2,, + 1),,,!
и заметив, что
lim a2g(a2) = -i-- (4.102)
(X»-* оо Z
Решения могут быть выражены в терминах g (а2) следующим образом:
чі = 4 f 11 - (4) er (4) - («2-) g («-) 1 (4.103)
о
V - -? і" 81° * кS («'-) - (4) g (4)] (4.104)
о
где
(af )2 = р (оsin ср + X)2; (4.105)
(a J2 = р (a sin ср - X)2. (4.106)
Поведение береговой линии может быть получено из выражения (4.102). В результате имеем:
T11(X, 0) = A [\-Wpg(pk*)b (4.107)
V(I, O) =-4AXp[I+ (1 -2\2p)g(pl2)]. (4.108)
Из последних двух уравнений видно, что экспоненциальное набегание воды на береговую линию вызывается ведущей отрицательной волной, за которой следует положительная волна.
