Сейсмические морские волны. Цунами - Мурти Т.С.
Скачать (прямая ссылка):
В прямоугольной системе дискретных (сеточных) координат
X1 = IHiX для 0 < / < /,
yt=jAy для 0<У</71;
уравнение (4.18) может быть записано в виде
(4.38)
(? + !. j - Ь. у)--{кхЛ2 / - /) +
(А*)2 VT* +І, у Ti, у/ (Дх)2
"^" (Ay)2 (^*'/ + 1"" ^*» (Ду)2 (ть У y-i)
= —f (4.39)
ma
Введем следующие обозначения:
Ду '
А. у—/>,--!,,-&.• (4-41)
+ Di,j-^-i*xAy; . (442>
^y-^1+^1,-g-; (4-4?
H1 i = -D i-^-. (4.44)
Тогда уравнение (4.39) можно переписать в виде
Bi, jb, у-1 + А, /Р«-і, / + Ei, jb, j + Fi, jb + i, j +
+ H11Jb1J + X=O. (4.45)
Уравнение (4.45) может быть записано в следующей матричной форме:
Мср = 0. (4.46)
Квадратная матрица M имеет размер (/+ l)(m+ 1).
Граничное условие (4.21) может быть записано в виде
при аналогичном выражении для ду/ду.
Граничное условие (4.37) становится сингулярным при у = ц. Можно оценить его следующим образом:
а
?(*, У)=?о-4- J //^(AIy-IJl)-ET(O, Ч)*Ч =
—а
= T0-Vi ЯГ(*|у-ч1)-5?-^-
— O
-4- 1 //i»(*iy-4i)^-rf4-
-4-Vf //„l>(*|y-7j|)-?-*i- (4.48)
у-*
184
Третий интеграл в правой части этого уравнения сингулярен, но если допустить, что ду/дх однородна в окрестностях е, то его можно определить аналитически, записав
у-є І
~2
= -4-\-bs +
Зтс
ck2 З
kl
2
в3 +
2є
.'-T-T)-S-(P. »)|. («¦«*>
где a = —0,250 000 0, 6=0,367 466 91, с = 0,067 288 18.
Взяв є = Ay, первые два интеграла в правой части выражения (4.48) можно оценить по способу трапеций. Численные расчеты для зал. Кеаухоу показали, что усиление волны внутри гавани возрастает для волн с более короткими периодами колебаний.
Лумис [277] разработал методику определения нормальных мод для гаваней нерегулярной формы с переменной глубиной и применил эту методику для некоторых заливов и гаваней о. Гавайи. Он взял за основу линейное уравнение для мелкой воды (4.16).
В численной схеме используются центральные конечные разности и определяется следующая функция К:
(0, если і, / — за пределами района,
^wHi • - О*-50)
J [I, если I1 j — внутри или на границе района. /
Затем, используя функцию индексов /(/, /), двойные индексы /, j преобразуют в одинарные /.
Отражающие границы воспроизводятся с помощью гипотетических узлов сетки за пределами района.
Потенциал скорости ф,, / записывается в виде ф/, 1=1, ... ...,пи обозначается как
?2
тогда
_д^
дх
= Dx!? =
1
2 Ax
1 0 -1 0 1 О
0 -1
О 1
-1
-2 J
Ti
ъ
L Vn J
(4.51)
185
и
Запись уравнения (4.18) в конечных разностях имеет вид [(DxDr Dx + D*DXX + (DyD)* Dy + D*Dyy] ? = а?, (4.52)
где смысл * понятен из следующего соотношения:
а, - * ах а2
-Ьп_ Ьп .
(4.53)
Собственные значения определяются по методу Хессенберга, а собственные векторы — из системы однородных уравнений. В табл. 4.5 для нескольких заливов о. Гавайи приведены результаты вычислений по этому методу.
Таблица 4.5. Расчетные собственные нормальные моды для заливов и гаваней о. Гавайи (Лумис [377])
Коли-
чество узлов Шаг сетки Периоды нормальных мод, мин
сетки
Гавань Хило 63 365,6 20,6 11,8 8,83 7,16
зал. Хило 70 / Дл- - 507,9 26,16 14,16 12,55 11,56
I Ay = 588,0
зал. Кеаухоу 58 39,0 4,74 2,11 1,56 1,52
зал. Кшіакеуа (I) 97 169,2 4,80 3,16 2,87 2,43 1,41
зал. Килакеуа (II) 51 253,9 5,10 3,34 3,19 2,42"
зал. Хонаунау 39 87,4 2,73 1,54 1,39 1,29
1 U 1
-2 1 0
Ti
?2
Более поздние результаты вычислений условий резонанса изложены в работах Cy [603] и Ларасена и Христианена [346]. Ли и Хванг [353] вычислили для полуоткрытых бассейнов резонансные колебания уровней воды, вызванные горизонтальными колебаниями уровня около устья, что может иметь место при близком землетрясении.
186
Вычисления резонанса по двумерным моделям при наличии вращения
Расчет свободных мод для колебаний уровня воды во вращающихся двумерных бассейнах с переменной топографией затруднителен, и поэтому до недавних пор использовался только косвенный метод. Суть этого грубого метода заключалась в том, что водная масса в течение некоторого времени подвергалась внешнему воздействию, а затем воздействие прекращалось и система могла совершать свободные колебания. Тогда, используя расчетный спектр колебаний уровня воды, можно было получить некоторые сведения о собственных периодах колебаний. Однако при этом не было гарантий, что подобным способом все моды могут быть всегда возбуждены или идентифицированы. Однако если в рассматриваемой водной массе имеется четкое разделение по частотам между колебаниями первого и второго классов (см. главу 3), то колебания первого класса могут быть определены Мурти и Тэйлор [459].
Недавно Платцман [518, 519], Рао [543] и Хамблин [189] разработали методику систематического расчета свободных колебаний уровней воды вращающихся бассейнов с неправильной геометрией и применили свою методику к Великим озерам.
Методика Платцмана включает способ, названный им «резонансной итерацией», который может быть использован как для полностью замкнутых, так и для частично открытых бассейнов (в последнем случае появляется дополнительная мода — мода Гельмгольца, которая будет рассмотрена).
