Электроразведка методом сопротивлений - Шевнин В.А.
ISBN 5-211-03303-5
Скачать (прямая ссылка):
плоскости раздела, поместим фиктивный источник интенсивности I' (рис.5.3.3). Его потенциал равен:
и;
(2)
t'Pl.l
2я Р/
Потенциал источника, находящегося в точке А, во второй среде равен:
2 n г2
Итак, потенциалы от точечного источника, помещенного в точку А, в первой и второй среде, соответственно, равны:
2тсг.
2TCf1'
2яг2
Здесь г,,г,' и хг - соответствующие расстояния от точек возбуждения до точек приема; Г имеет смысл интенсивности отраженного источника, а I" - интенсивность реального источника во второй среде.
Таким образом, решение задачи в общем виде идет по следующей схеме. Сначала записываются выражения для потенциалов в первой и второй среде от точечного источника, находящегося в первой среде. Затем записываются граничные условия, из них выводятся выражения для Г и I". После того, как найдены интенсивности мнимых точечных источников, в требуемых точках определяются значения потенциала. Воспользуемся таким алгоритмом и все дальнейшие расчеты проведем аналогичным образом. Запишем выражения для потенциалов для данной ситуации.
Предположим, что имеется контакт двух анизотропных сред. В соответствии с общей теорией постоянного электрического ПОЛЯ в проводящих средах запишем физические условия задачи:
1. Потенциал в любой точке, кроме источников, удовлетворяет уравнению Лапласа: aU=0. Рис.5.3.4. Системы коорди-
2. Вблизи источника потен- нат в случае контакта двух циал удовлетворяет условию на ис- анизотропных сред
точнике: при r-o1 u = (l-p)/(2wR) .
3. При r-~, u=o .
4. На дневной поверхности при 2 = 0, Jz = 0 .
5. На контакте двух анизотропных сред должно соблюдаться равенство потенциалов и нормальных компонент плотности тока:
u1 - u2 ;
i о) _ i (2)
(39)
Для нашего случая Tn = Tx . следовательно Jx11 >=JX2) .
Принимая во внимание эти условия, приступим к решению задачи.
Выберем системы координат в этих средах следующим образом (рис.5.3.4): оси х" и х" направлены вдоль простирания анизотропных толщ, а оси у' и у" соответственно по падению; оси ґ иг" - перпендикулярно плоскости падения. В этих координатах формулы для потенциалов записываются следующим образом:
u,(1> =_ 'Pic1)/pT* . (40)
2я VVf1V2 + у'2) + Pi1V2
2TtV'p{1>(x'2+y'2) + pn1)Z'2
(41)
1 Pl \
27гУР|(2)(х"2+у"2) + Рп2)г"2
u2 =- '_ р| Y"»-. (42)
Примем 1 = 1 . Запишем граничные условия для потенциала. Известно, что на границе u1 = u21 или, учитывая (40 42), запишем коэффициенты при Г, используя (39):
(43)
где
гтсг^р^соэ^, +cos2^sln2p{) + Pn1)sln2a(sin2p,
cosp^, = COS4» cospm + sin<psinpm; m = 1 g sinp^ =sin<p-cospm-cos(psinpm;
где ф - азимут разноса относительно профиля. Коэффициент при I" :
_еШІ_
2it г ^pI2'(cos 2 P2 + COS2O2-SIn2P2) + pn2)sln2a2-sin2p2
(44)
Рассмотрим второе граничное условие - равенстве х-компоненты плотности тока. В итоговой системе координат
а,
где А - матрица преобразования координат (3). Нас интересует только Jx:
Jx'
Jy1
a1 ,
где A1 - верхняя строка матрицы А.
Преимущество предлагаемого решения заключается в ток что данный путь позволяет рассматривать отдельно правую
140
Глава 5
левую части граничных уравнений каждую в своей системе координат, формально приравнивая (с некоторыми коэффициентами) плотности тока по обе стороны равенства. Запишем выражение для Jx:
Jx=Jx/Cosp - JyrCOSaslnp +Jz/-sin«-8inp . (45)
Здесь
JxZ = OxZxZ1ExZ, Jy/ = OyZyZ-EyZ, JjZ=O2ZjZ^E1/ ,
1 1 1
°xV' = — > °уУ = — • аг>г' = — Pl Pl Pn
в свою очередь
с эи п 3U с аи
эх' ^ Эу' dz'
Тогда, находя соответствующие производные и делая простейшие преобразования, получим:
Jx<1) =2k/(1 +!Ofx'-cosp, -V7COSa1SJnP1 + z'-slna, SInP1 J; Jx(2) = 2k2V/[x//cosp2-y'/-cosa2-slnp2 + z"slna2slnp2],
гдв k; = _J_--^Jh-
471 (р|,,<х'« + у'«) + Р?)*'в)1
k/ 1 p?2)-/p?
(pf2,(x"2+y"2) + P„2)z"2)
Воспользовавшись приведенными ранее преобразованиями системы координат, получим для первой среды: Аналогично для второй среды:
x^xcosa, +у •SJnP1; у' = -х-COSa1 sin P1 + у •COSa1 •COsP1 +zsina,; z^xsina, SmP1 - у sin O1 COSP1 + z-COSa1 .
x" = xcosa2 +ysinp2; x cosa2 sinP2 + у•COSa2-COSP2 + zsina2; x-sin a2-sin P2 - у sin a2 cos P2 + z cosa2.
Переходя к произвольной системе координат и легко вычисляя теперь все коэффициенты при Г и I", получаем достаточно простую систему уравнений вида:
8,•1' + D1-I" = ^ ;
S2-I' + D2-I" = C2 ,
где а,, Ь, и с, - коэффициенты из граничных условий для потенциала, а аг,Ьг и C2 - из граничных условий для нормальной компоненты плотности тока.
Все описанные выше выкладки проведены для случая, <огда источник тока располагается в первой среде. В случае, согда источник тока располагается во второй среде, выкладки юлностью аналогичны.
С использованием приведенных здесь формул написана ірограмма ASA (Anisotropic Sounding Analysis), с помощью ;оторой можно рассчитать потенциал точечного источника, •асположенного на поверхности земли, в любой точке земной юверхности вблизи контакта двух анизотропных сред. Про-рамма была протестирована программами В.А.Шевнина ,NIZ_CON и ANIZ-UZ1 предназначенными для расчетов отенциалов и кажущихся сопротивлений вблизи контакта двух зотропных толщ (ANIZ-CON) и в однородной анизотропной реде (ANIZJJZ).