Электроразведка методом сопротивлений - Шевнин В.А.
ISBN 5-211-03303-5
Скачать (прямая ссылка):
U(O = ^P-, (3)
где:
Г = І(Xn, - X.)2 + (Ут - Уа)2 + (Zn, - Z,)2 .
Для решения задачи нахождения поля в слоистой среде, мы применили спектральный подход.
Электрический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа:
aU = 0
Применим к потенциалу двойное преобразование Фурье:
0(^,Ky1Z) = -i-//U(xpy,z)e/(k"x^y)dxcly
Полученный спектральный потенциал удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
32O(^z) _ m2Q(kxky|Z) = 0 . тг = k2 + k2
Используя преобразование Фурье-Ханкеля, можно записать: U(x,y,z) = ^-// Ufm.zJe-^^dMky =
= J0(mz)ml0(mr)dm .
о
Введем обозначение
О = Om <4>
Тогда
U(r, z)=/0(m, z) l0(mr)dm
и U(m,z)=Aemz + Bemz
является общим решением уравнения Гельмгольца.
Для точечного источника справедливо следующее выражение (формула Вебера-Липшица):
-Jp- = ^?e-m|z-z4(mr)dm.
4*./r2+(z-zA)2 4*о
Тогда в слое с источником спектральный потенциал описывается формулой:
G(m,z) = ^e-ml*-z*l + Aemz+Be-mz. 4тс
Кроме того, спектральный потенциал должен удовлетворять следующим физическим условиям:
0,.0,.,. if .-liul, №)
Pl 3z р|+1 dz
dz
z=0
о, иь
= 0,
dz
о. On
Г-0 = Jp 0-"Мг-2л|
Z-Z.
4тт
Алгоритм прогонки для вычисления электрического поля источника постоянного тока в горизонтально-слоистой среде (алгоритм В.И.Дмитриева - А.Г.Яковлева)
Рассмотрим модель горизонтально-слоистой среды, возбуждаемой произвольно расположенным точечным источ-
ником постоянного тока. Пусть разрез состоит из N слоев, каждый из которых характеризуется удельным электрическим сопротивлением р, и мощностью h,. Глубины кровли и подошвы і-го слоя равны Z1 и Z1+1, соответственно. Источник находится на глу-
Pl
Т7
Pt
Z2 Zj
/ ГГ Г/ S / Г/ f / Г7 Г/ f / Г/ /1 ? / 11 /ТУ/ %Ъ
бине za в слое п (рис. Рис.4.2.2. Модель слоистой среды
4.2.3)
Необходимо найти зна-
с точечным источником тока
чение поля Ег и Ex в любой точке среды. Эта задача решается через спектр потенциала электрического поля0(т,гт) и его производную по z.
Исходя из затухания поля на бесконечности, коэффициентAn при возрастающей с глубиной экспоненте равен нулю. Таким образом, для описания спектрального потенциала в земле необходимо найти 2N-1 неизвестных из такого же количества уравнений. Полученную систему можно решать, используя стандартные алгоритмы (например, метод исключения Гаусса). Однако, с вычислительной точки зрения более эффективен подход, предложенный В.И.Дмитриевым, основанный на методе прогонки (рис.4.2.3). Рассмотрим этот подход подробнее.
Разделим весь геоэлектрический разрез на две части - выше и ниже источника. Все константы, относящиеся к верхней части разреза, будем помечать индексом а константы, относящиеся к нижней части разреза - "+". При этом слой с источником оказыва-
OPfHiI «Лтд
¦i TiTi ViJ-I Vi |Zl" О
* f * / fj t /
•;-о
Рис.4.2.3. Схема метода прогонки
ется разделенным на два подслоя. В верхнем подслое мы будем иметь первичное поле в виде экспоненты, возрастающей с ростом Z, а в нижнем - убывающей по г. Это озволяет унифицировать представление спектрального потен-
циала во всех слоях.
Для любого і-го слоя выше источника, включая верхний подслой слоя п, спектральный потенциал на частоте m можем записать в виде:
й,(2)=ЬГ[аГв-т(2-2,)+ет(г-гі)]; при 1 = 1.....n ; z<za
Аналогично для любого i-ro слоя ниже источника, включая нижний подслой слоя п, имеем:
при I = n,...,N; z >za ;
Первичное поле источника в этих выражениях "спрятано" в константах а и Ь. Коэффициенты а, и Ь, связаны с используемыми ранее коэффициентами А, и В, следующими соотношениями:
i<n : Al = b,-e-m2,I B, = bf a,-emz,f
i>n: A, = bfa,+ e"mZ|*1. B1 = D,^2" . Для слоя с источником z<z, : An
Bn
z>za: An Bn
Из условий затухания поля на бесконечности а^ = 0, а из условия (5) имеем а,"=1. Использование а, и Ь, вместо A1 и В, позволяет упростить решение задачи.
Запишем граничные условия (5) для границы на глубине z,<za (т.е. ниже источника), разделяющей i-1 и і слои:
„пи.
bl;1[ai-.1e-mh" + e'nh'-1] =bflaf + 1]
(6)
-— bi;1[ar-ie"nh|'1-emh'-1] = -^-ЬПаГ-1] . Рій Pi
Вынесем в левых частях системы (6) множитель етЬм за скобки и разделим верхнее уравнение на нижнее
айе'">нП_ а,'+1
Рм <. - а -2т hw i " Р/_ - * '
ам в 1' -1 в) -1 Найдем соотношение, связывающие а,' и а/ :
1,1-1 + 8I-J 8
1 + ^u-I 8M ©
-Zmh,.,
где K|j_i = (Pi_i - Р|)/{ р|_ч+ Pi) - коэффициент отражения от границы Z, для тока, протекающего снизу вверх. Отталкиваясь от известного af = 1 и двигаясь снизу вверх, можно, используя последнюю формулу, рассчитать коэффициенты а," для всех верхних слоев, включая слой с источником.
Найдем рекуррентные формулы для вычисления а/. Для этого запишем граничные условия (5) на границе Z1+1 > za:
ь;[і + а,'] = ь^е^-+ a);1e-fflh"],
.[1-а,*] - --^l[emh--ai:ie-mh-]
Pi Pm
Легко заметить, что система (6) аналогична системе (7), если индексы i-1 заменить на i+1. Это позволяет, не проводя выкладок, записать соотношение для а,*:
