Структуры рудных полей и месторождений - Старостин В.И.
ISBN 5-211-04522-Х
Скачать (прямая ссылка):
Вектор напряжения в данной точке, а следовательно и его нормальная и касательная составляющие, будут иметь различную величину и ориентировку в зависимости от ориентировки выбранной элементарной площадки, проходящей через данную точку. Таким образом, напряженное состояние тела в данной точке может быть охарактеризовано совокупностью векторов нормальных и касательных напряжений, отвечающих различно ориентированным элементарным площадкам, проходящим через данную точку. Однако таких площадок через заданную точку тела можно провести бесконечно много. Казалось бы, в силу этой причины для характеристики напряженного состояния тела в данной точке необходимо огромное количество информации. В действительности же по данным о нормальных и скалывающих напряжениях, действующих на трех непараллельных плоскостях, можно определить векторы напряжений, действующих в любой произвольно ориентированной плоскости.
Для удобства представим, что три таких непараллельных плоскости представляют собой грани элементарного куба, ребра которого параллельны осям прямоугольной системы координат (рис. 3.6). На каждой из граней куба вектор напряжений может быть разложен на три компоненты, каждая из которых параллельна одной из осей координат. Очевидно, что всего таких компонент девять и они могут быть записаны в виде матрицы:
ахх
^ху
^XZ
T-yz
^ZX
Tzy
0ZZ
Рис. 3.6. Компоненты вектора напряжений, действующие на гранях элементарного куба ДхДуДг
В этой записи первая буква индекса указывает, перпендикулярно какой оси координат располагается плоскость, на которую действует данная компонента, а вторая буква индекса указывает, параллельно какой оси координат эта компонента ориентирована.
Легко заметить, что лишь две пары векторов, действующих на боковых гранях куба,
вызывают его вращение вокруг оси Z. Наш элементарный куб будет находиться в состоянии статического равновесия, если действующие силы уравновешивают друг друга. Это условие будет выполняться, если T= xvv. Аналогичные соотношения должны поддер-
лу ул
живаться и между двумя другими парами компонентов стресса, имеющими разные индексы. В результате оказывается, что из девяти элементов приведенной матрицы только шесть являются независимыми. Ситуация еще упрощается, если рассматривается линейное или плоское (соответственно одно- или двухосное) напряженное состояние.
Сжатие в двух направлениях. Если компоненты напряжения в направлении одной оси координат снимаются, говорят о его плоском напряженном состоянии. Строго говоря, такой подход возможен только по отношению к тонкой пластинке. Однако он позволяет производить сравнительно простые и понятные геометрические построения, поясняющие методы расчета нормальных и касательных напряжений в данной точке тела. Обычно предполагается, что все компоненты стресса в направлении оси Z равны нулю. Тогда из девяти элементов рассмотренной выше матрицы останутся только четыре, причем только три из них будут независимыми:
Предположим теперь, что прямоугольный элемент со сторонами Дх и Ду и единичной толщиной находится в плоском напряженном состоянии. Необходимо определить нормальную и касательную составляющие вектора напряжения, действующего на некоторой площадке, параллельной оси Z, если известно, что
XX кху ух °уу
нормаль к этой площадке образует угол G с осью X (рис. 3.7). Однако для начала проанализируем несколько простых ситуаций.
Одноосное напряженное состояние. Одноосное напряженное состояние будет осуществлено, если приложить нормальные напряжения, одинаковые по величине и противоположные по знаку (направлению), только на двух параллельных гранях элементарного куба. В этом случае куб будет сжат или растянут, приложенные силы вызовут удлинение или укорочение его ребер, углы между гранями останутся прямыми.
Предположим, некоторый прямоугольный элемент подвергается равномерному сжатию вдоль оси X с силой Fx. Требуется определить нормальные и скалывающие напряжения, действующие на выбранной площадке AB площадью а (рис. 3.8), которая образует некоторый угол 0 с плоскостью, перпендикулярной оси X и направлению векторов силы (Fx) и напряжения (о^).
Очевидно, что площадь стороны АО может быть найдена как a cos 0. Тогда вектор действующей на эту поверхность силы определится как Fx = (a cos 9). На наклонной плоскости AB этот вектор может быть разложен на касательную и нормальную составляющие:
Соотнеся эти силы к площади, на которой они действуют (а), мы получаем искомые величины нормальных и касательных напряжений на выбранной площадке:
Рис. 3.7. Нормальные и касательные напряжения, действующие в плоскости осей XhY при двухстороннем сжатии (А). Площадка AB параллельна оси Z, а ее нормаль образует угол 0 с осью X (Б)
Fn = Fx cos Є = стхх {a cos2 9); Ft=Fx sin 0 = аи (a cos 9 sin 9).
а = Ct4x cos2 0; х = сг cos 9 sin 0, или т. = 0,5, о sin 20.
А
О В
Рис. 3.8. Компоненты вектора напряжения при одноосном сжатии вдоль оси X
Очевидно, что величина а принимает наибольшее значение при Э = 0. Иными словами, наибольшее нормальное напряжение действует в поперечном сечении, перпендикулярном оси сжатия. Аналогично величина х будет иметь наибольшее значение, если 6 = 45°. Таким образом, теоретически наибольшее касательное (скалывающее) напряжение действует в сечении, наклоненном к направлению сжатия под углом 45°.
