Структуры рудных полей и месторождений - Старостин В.И.
ISBN 5-211-04522-Х
Скачать (прямая ссылка):
Двухосное напряженное состояние. Предположим теперь, что на образец действуют силы сжатия Fx и F , ориентированные вдоль двух направлений, лежащих в плоскости чертежа (см. рис. 3.7). Такая ситуация отвечает случаю плоского напряженного состояния.
Нормальные (ст) и касательные (т) напряжения, вызываемые силой, действующей вдоль оси X, могут быть определены, как это было сделано выше. Нормальные и касательные напряжения, вызываемые на той же плоскости AB силами, действующими вдоль оси Y, могут быть определены аналогичным образом (рис. 3.9).
Сила, действующая на площадку AB, может быть определена как
Fy=CTyy (я sin 0).
Рис. 3.9. Компоненты
вектора напряжений при T J
сжатии вдоль оси Y <гп
На наклонной плоскости AB этот вектор может быть разложен на нормальную и касательную составляющие:
Fn=oyy (a sin2 9);
F1 = (a sin 0 cos Є).
Чтобы от значений найденных векторов силы перейти к вызываемым ими напряжениям, необходимо соотнести первые с площадью, на которой они действуют (а):
CT = O^Sm2G; т = Оуу cos 9 sin 9.
Теперь по принципу суперпозиции получаем, что действующие в плоскости AB нормальные и касательные напряжения, вызываемые совместным действием двух сил, равны соответственно
Ct = Cj01 COS2O + Оуу sin2 0; (3.1)
t = (O101- сТуу) sin 0 cos 9 (считаем, что сг^ > а^). (3.2)
Напряженное состояние чистого сдвига. Остается определить напряжения, вызываемые касательными составляющими Tyx и т (показаны на рис. 3.7). Если на двух парах параллельных граней элементарного куба приложены равные по величине и противоположные по знаку касательные напряжения, а нормальные напряжения на гранях отсутствуют, говорят о напряженном состоянии чистого сдвига.
Простые вычисления, иллюстрируемые рис. 3.10, позволяют определить величины нормальных и касательных напряжений, вызываемых на все той же наклонной площадке касательным напряжением т •
ху
о = т?„ sin 9 cos 9; т = xvv cos2 9.
Рис. 3.10. Напряжения, вызываемые касательными составляющими тух и т,
(см. рис. 3.7)
Соответственно для касательного напряжения xvv имеем
ух
ст = xvv sin 0 cos 0;
ух
т = xuv sin20.
Касательные и нормальные напряжения, возникающие на наклонной площадке при совместном проявлении т v и xVY, опреде-лятся как
а - 2xvv sin 0 cos 0; (3.3)
ху
т = t?V (cos20~sin20). (3.4)
ху
Результирующие нормальные и касательные напряжения, возникающие на некоторой наклонной площадке, могут быть определены суммированием уравнений (3.1) и (3.3), а также (3.2) и (3.4):
ст = ахх cos2 0 + стуу sin2 0 + 2хху sin 0 cos 0; (3.5)
т = (Oj1x- ауу) sin0 cos0 + хху (sin2 0 - cos2 0). (3.6)
Преобразуя эти два уравнения, можно показать, что плоскости, в которых нормальные напряжения достигают максимального и минимального значений, взаимно перпендикулярны, а касательные напряжения в этих плоскостях равны нулю. Максимальное и минимальное нормальные напряжения получили название главных нормальных напряжений и обозначаются Ct1 (алгебраически максимальное главное нормальное напряжение, т.е. максимальное растягивающее или минимальное сжимающее напряжение) и Ct3 (алгебраически минимальное главное нормальное напряжение, т.е. наименьшее растягивающее или наибольшее сжимающее напряжение).
Если выбрать теперь систему координат такую, чтобы ее оси совпали с осями главных нормальных напряжений Ct1 и ст3, то уравнения (3.5) и (3.6) примут вид (ст^= Ct1, ст^= ст3, хху= 0):
ст = CT1 cos20 + ст3 sin20; (3.7)
X = (CT1-CT3)SmOcOS©. (3.8)
Объемное напряженное состояние. В природе мы имеем дело с объемными напряженными состояниями, поэтому следует учитывать и величину третьего, промежуточного главного нормального напряжения ст2 {al>c2>ci), которое в частном случае при плоском напряженном состоянии было равно нулю. Напряженное состояние в точке полностью определяется величинами и направлениями трех главных нормальных напряжений Ct1, ст2 и ст3.
В сечениях, перпендикулярных им, касательные напряжения равны нулю. Максимальной величины касательные напряжения
достигают в сечениях, расположенных под 45° к осям C1, с2 и с3. При всестороннем (литостатическом) напряжении C1 = C2 = C3 и касательные напряжения вообще отсутствуют.
3.3. АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ С ПОМОЩЬЮ КРУГА МОРА
Выражения (3.7) и (3.8) можно преобразовать, используя известные формулы приведения
В результате получим важные уравнения для расчета с и т:
По своей форме эти выражения очень напоминают параметрические уравнения окружности радиуса г с центром на оси х, лежащим на расстоянии с от начала координат:
Это свойство позволяет графически с помощью так называемого круга Мора (рис. 3.11) решать широкий круг задач, в которых фигурируют сит. Особенностью круга Мора является то, что его центр располагается на оси с на расстоянии от начала координат с = 0,5 (C1 + с3), а радиус круга г = 0,5 (C1 — с3).
sin2 0 = 0,5(1 - cos 20); cos2 0=0,5(1+cos 20); sin 0 cos 0 = 0,5 sin 20.
с = 0,5 (C1 + c3) + 0,5(C1 - c3) cos 2 0; T = 0,5 (C1 - c3) sin 20.