Методы и объекты сейсмических исследований. Введение в общую сейсмологию - Пузырев Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
1.3. ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ БЕЗГРАНИЧНОЙ СРЕДЕ
Обозначим через X, Y, Z составляющие внешних массовых сил, действующих на элемент объема 6 V, а через jx, jy, J1 — проекции полного ускорения центра тяжести элемента 6 V по осям координат, вызванного силами инерции. Последние, согласно принципу Даламбера, пропорциональны ускорениям, т. е. вторым производным компонент смещений по времени.
Вырезанный из среды элемент объема (параллелепипед) должен находиться в равновесии. Условия равновесия для любых полей напряжений в случае изотропной среды записываются в виде [Лейбензон, 1947; Саваренский, 1972]
(А+м)§ + ^и+рХ=р^;
(Х+ц)& + №+РУ = р&; (1.11)
(А+Л)§ + ^ + PZ=P^, где V2 = -^r + + -^r — оператор Лапласа.
дх2 ду2 dz2
При отсутствии внешних сил, т. е. когда действуют только силы инерции, возникающие в процессе установившихся колебательных движений, в уравнениях (1.11) следует положить X- Y = - Z - 0. В этом случае путем ряда .формальных преобразований можно получить два фундаментальных уравнения:
V20 = . i?e = j_ . э?в.
Х + * * * * (1.12)
V2TQt U = ? • a2(r0tfl = J_. * ,
h dt2 V2 dl*
где составляющие вектора rot "и = аГ определяются выражениями
1/ди диЛ 1(ди диЛ. _ 1ISv ди\
^=2[aF_"i7j; ay~2[to-to)' ^=2^-^]-
Из уравнений (1.12) непосредственно следуют уравнения
V2JT= \Ц;
V2 dt2
V2Jt= \Ц,
V2 dt'
первое из которых описывает распространение продольных (компрессионных), второе — поперечных (сдвиговых) волн. Скорости vp и vs выражаются через упругие параметры и плотность, т. е.
16
Глава I. Основные сведения о колебаниях и упругих волнах
vF = V(A + ЩІр; vs = V/x]J. (1.13)
Отношение их зависит только от коэффициента Пуассона
Ь-шу = V(I - 2а)/[2(1 - о)]. (1.14)
Отсюда следует, что в сплошной среде, для которой выполняется закон Гука, vslvr не может быть больше 1/VI {о 2: 0).
В совокупности продольные и поперечные волны, вызванные массовыми силами, называются объемными волнами.
Решение задачи на распространение волн в однородной анизотропной среде сводится к нахождению фазовых скоростей и векторов поляризации трех типов волн, распространяющихся в анизотропных средах: квазипродольной и двух квазипоперечных — и к вычислению лучевых скоростей этих волн.
В трансверсально-изотропной среде скорости распространения волн вдоль оси z (например, в направлении, перпендикулярном тонкой горизонтальной слоистости) и в плоскости, перпендикулярной оси z (параллельной хоу), выражаются формулами:
Vi = VUTp; v\\ = VXTp;
= v]^ = VLTp-; V^ = VNTp; t4 = ^V (
При этом имеют место неравенства uJJ >v? (в отдельных случаях v\} ^ v?); vj^ >vjH.
Зависимость скорости распространения волн в анизотропной среде от направления носит название индикатрисы скоростей. Здесь и далее индексы SH и 5 К относятся к поперечным волнам, поляризованным соответственно в горизонтальной и вертикальной плоскостях (при вертикальной оси симметрии).
Различают волны плоские и сферические. Возникновение первых из них можно иллюстрировать на следующем примере.
Поместим в пространстве вдоль координатной плоскости yoz абсолютно жесткий экран, как бы „вмороженный" в среду. Если теперь быстро сдвинуть экран параллельно самому себе в направлении оси х, то среда перед ним будет сжата, а позади, в сторону отрицательных значений х — растянута. Таким образом, в среде возникают продольные волны, имеющие вдоль любой прямой, параллельной оси х, только компоненту их. Фронт такой волны будет параллелен плоскости yoz. В результате первое из уравнений (1.12) примет более простой вид
^ = -7-4- <1Л6>
дх2 V2 д?
Если экран сдвинуть от исходного положения по оси у, то возбуждается только поперечная волна, имеющая компоненту v и распространяющаяся также в направлении, параллельном оси х. Волновое уравнение, описывающее ее распространение, будет подобно (1.16), если в нем заменить и на V, a vp на vs.
В общем случае косого сдвига экрана возникнут и будут независимо распространяться две плоские волны — PhS.
Нетрудно убедиться подстановкой, что уравнению (1.16) удовлетворяет функция общего вида
+ /,!' + ?)• <117>
Первое слагаемое соответствует передаче волновых движений со скоростью vp в положительном направлении, второе — в отрицательном. Аналогичное решение имеет место для поперечных волн.
Существенно отметить, что плоская волна в процессе распространения в изотропной идеально упругой среде остается неизменной как по форме сигнала, так и по амплитуде.
Предположим, что величины О и rot иъ уравнениях (1.12) зависят только от расстояния г от начала координат, за которое можно принять, например, точечный источник с равномерным излучением волны данного типа во всех направлениях. Если обозначить функцию в либо rot и в (1.12) через Q1 то можно показать, что каждое из уравнений можно представить в виде
Часть I. Общие вопросы теории и методики
дг1 Vі dt1 '
(1.18)
где V принимает значения vF или vs в зависимости от того, какая из функций Q рассматривается. Решение этого уравнения представляется в виде
