Методы и объекты сейсмических исследований. Введение в общую сейсмологию - Пузырев Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
возникают напряжения. Если выделить в теле какую-а в либо малую элементарную площадку <5^, то в общем
случае вектор напряжения наклонен к ds, на которой OH действует [Лейбензон, 1947; Г.авяр^.нг.к-ий, 1077. \
rJJJJJSt 1-і-
Рис. 1.5. Характер движения частиц в волнах различных типов, распространяющихся в твердой среде [Красильников, I960]:
а — продольных (P)1 б — поперечных {S), в — Рэлея (Я), г — Лява (L).
14
Глава 1. Основные сведения о колебаниях и упругих волнах
жений — нормальную, перпендикулярную к площадке, и касательную, действующую в плоскости площадки. Напряжения, действующие на координатных плоскостях элементарного объема, можно в общем случае описать шестью компонентами: тремя значениями нормальных напряжений о, о, о
X у Z
и тремя составляющими касательных напряжений: = т^, та = та, туг = т . С помощью этих шести компонент можно определить напряжение на любой наклонной площадке, проходящей через ту же точку.
Построение теории распространения волн в твердой среде основано на установлении зависимости между напряжениями и деформациями. В классической теории упругости эта зависимость базируется на экспериментально установленном законе Гука, согласно которому между напряжениями и деформациями при условии малости последних существует линейная зависимость. Формально линейная связь между шестью компонентами напряжения и шестью компонентами деформации определяется 36 коэффициентами, или модулями упругости C^, где каждый из индексов принимает значения от 1 до б. Независимых из них 21 модуль, так как выполняется условие - С)Г
Если в теле имеется одна плоскость симметрии, то количество упругих постоянных равняется 13. В случае наличия трех взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии тело будет характеризоваться девятью модулями. При наличии одной оси симметрии и постоянства свойств в плоскости, перпендикулярной этой оси, среда характеризуется пятью параметрами (трансверсально-изотропная среда). Среды с 13, 9 и 5 упругими параметрами относятся к категории анизотропных.
В изотропной среде упругие свойства не зависят от направления. Количество упругих модулей уменьшается в этом случае до двух C12 - А и C44 - ,и; А и ц — коэффициенты Ламэ. В этом простейшем случае компоненты напряжений выражаются через компоненты деформаций следующим образом:
Ox = А 0 + I4Iyx;, Tv=/tyv;
оу = хе + 2му„; ^ = Wx,; о .8)
ог=ХЭ + 2/луа; T^ = Hyn,
где© = — + — + ~г — дилатация.
дх ду dz
В различных задачах оперируют с пятью различными модулями упругости для изотропной среды, включая А и fi, из которых только два являются независимыми.
1. Модуль Юнга (E), определяющий связь между нормальным напряжением и продольной деформацией в стержне.
2. Коэффициент Пуассона (о) — значение отношения поперечной и продольной деформаций стержня при его продольном растяжении или сжатии.
3. Модуль всестороннего (объемного) сжатия (К) характеризует связь между объемной деформацией (дилатацией) и величиной равномерного всестороннего давления, т. е. суммой нормальных напряжений.
4. Модуль сдвига (и) характеризует связь между деформацией скошения прямого угла, например) У™ и касательным напряжением т (согласно (1.8)).
ху ху
5. Модуль А — коэффициент при дилатации в уравнении (1.8) связи между деформациями сжатия—растяжения и нормальными напряжениями. В жидких и газообразных средах, где отсутствуют сдвиговые деформации (и ~ 0), модуль А численно равен модулю объемного сжатия К.
Ниже приводятся основные зависимости между указанными модулями для изотропной среды:
„1 E _ Mi + а) _ д 2 Л З 1 - 2а 3(1 - 2а) А + 3
„ = i.^g- = 3*0 -2*) = hK - А) = W - (19)
P 2 1 +а 2(1 +а) 2^А А> 2а ' КиУ'
1 = аЕ = ЗКа = К — hi =
(1 +«T)(I -2а) 1 + a J \ -2а'
Отсюда нетрудно найти выражение E и о через любую пару других параметров.
В анизотропной среде упругие свойства зависят от направления действия напряжений и ориентации элемента среды. В сейсмологии чаще всего используется модель трансверсально-изот-ропной среды. В частности, такая модель соответствует тонкослоистой структуре с параллельными границами, когда мощность слоев значительно меньше длины волны.
В этом случае связь между деформациями и напряжениями представляется в виде [Саваренский, 1972]
15
Часть I. Общие вопросы теории и методики
Ox = (A- 2N)Y19 + АУхх + Fya; Тху = Ny^
Oy = (A- 2N)Y11x + Аую + Fy1J Tn = Lyx,; (1.10)
O2 = Fyx,+ Fy19 + Cyn; ^ = L^,
где А, С, F, L, N — модули упругости трансверсально-изотропной среды. Ось анизотропии в данном случае совпадает с осью z, т. е. наблюдается осевая анизотропия по отношению к вертикали. В плоскостях zx и zy упругие свойства одинаковы. Коэффициенты LnN представляют собой соответственно модули сдвига в вертикальной и горизонтальной плоскостях.
Отметим, что для полного описания анизотропии среды необходимо также знать пространственную ориентировку осей симметрии.
При определенных предположениях о характере контактов между твердыми частицами и флюидом модули упругости могут быть рассчитаны для дискретных сред типа зернистых [Уайт, 1986]. Если зерна, а также мелкие кристаллы располагаются в пространстве по законам случайности, в том числе в отношении ориентировки частиц, то такую среду во многих случаях допустимо считать в среднем изотропной с некоторыми эффективными (средними) значениями коэффициентов Ламэ. Если зерна имеют упорядоченную упаковку в определенных направлениях, то среда будет анизотропной.
