Методы и объекты сейсмических исследований. Введение в общую сейсмологию - Пузырев Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
1.1. КОЛЕБАНИЯ И СПЕКТРЫ. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Простейшим является синусоидальное (гармоническое) колебание. В случае изменения величины а во времени t оно имеет вид
где O0 — максимальная амплитуда колебания; T — период колебаний; S = f — частота; V0 — фазовый
„ - <Рот
угол. Сдвиг во времени г связан с <р0 простои зависимостью: г =
Сумма любого числа (я) синусоидальных колебаний заданной частоты с произвольными значениями амплитуд и начальных фаз будет представлять собой синусоидальное колебание той же
9
(1.1)
Часть I. Общие вопросы теории и методики
Рис. 1.1. Биения, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами [Саваренский, 1972].
с_____
частоты. Если фазы составляющих колебаний распределены по случайному закону, а амплитуды всех синусоид одинаковы (O0), то результирующее колебание в среднем имеет амплитуду
O1 = O0Vn. (1.2)
При сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, различающимися на величину Д/, суммарное колебание представляется в виде биений, т. е. чередованием периодических разрастаний амплитуд и узлов с почти нулевыми амплитудами. Временной интервал между узлами либо экстремумами разрастаний называется периодом биений: T- 1/Д/ (рис. 1.1).
В математике доказывается, что любое сложное колебание можно представить в виде суммы синусоидальных колебаний с различными частотами. Для целей сейсмики наибольшее значение имеет представление колебательных процессов в виде последовательности гармонических составляющих с непрерывно изменяющимися частотами. В этом случае функции времени Fit) ставится в соответствие функция частоты S(co), где со — 2nf — круговая частота. Функция S(co) называется комплексным частотным спектром. Связь между функциями Fit) и S(co) выражается через интегралы Фурье
+ 00 +ОТ.
S(CO) = / F (t) e-i"" dt, F(t) = ±JS(co) e>°" dco, (1.3)
где
е'ш' = cos cot + jsin cot; j = V-I.
Первая из формул (1.3) называется прямым, а вторая — обратным преобразованием Фурье. Бесконечные пределы интегрирования часто заменяются конечными, если функции ограничены по времени и по частоте. В подынтегральных выражениях (1.3) присутствует мнимая экспонента. В связи с этим для любого временного процесса его спектр S(co) будет представлять собой комплексную функцию вида S(co) = А + jB.
Наличие мнимой части в последнем выражении свидетельствует о том, что гармонические составляющие в импульсе складываются не синхронно, а с определенными фазовыми сдвигами. Поэтому различают амплитудный IS (со) I = V.A2 + В2 и фазовый (р (со) спектры, согласно соотно-
шению tg <р(со) = — = sin <p(co)/cos <р(со). Номер квадранта определяется знаками величин
sin <р(со) = B/\S (со)\, cos <р(со) = A/\S (со)I.
В часто встречающемся случае, когда спектр ограничен со стороны высоких частот, S(f) можно рассчитать с высокой степенью точности, если импульс Fit) представить в виде дискретных отсчетов с интервалом St — 1/(2/^), где / — максимальная граничная частота. Это положение, называемое теоремой Котельникова-Винера, широко используется в современной сейсморегистрирующей аппаратуре и вычислительной технике.
Важно подчеркнуть, что чем короче импульс FU), тем шире его спектр I S(co) I, т. е. тем больший диапазон частот в нем присутствует. Поэтому в бесконечно коротком импульсе присутствуют все частоты от 0 до оо. В свою очередь, бесконечно короткому спектру, представленному одной линией, соответствует процесс в виде неограниченной синусоиды заданной частоты. Существует закономерность, что произведение длительности сигнала (At) на ширину его амплитудного спектра (Д/) изменяется в относительно узких пределах и в среднем близко к единице, т. е. Дг-Д/»1.
На рис. 1.2 представлены спектры импульсов Берлаге различной протяженности и формы. Напомним, что комплексный спектр S(co) -A+jB изображается на комплексной плоскости (А, В) в виде некоторого контура. Можно видеть, что для коротких импульсов контуры имеют большие ю
Глава 1. Основные сведения о колебаниях и упругих волнах
Рис. 1.2. Пример зависимости вида амплитудных (а) и комплексных спектров (б) от формы импульса Берлаге a(t) - Ogfe'1'' sin cot (в), со = 2л: • 40 Гц; величины q и ? указаны для каждого из импульсов 1—4; фазовые спектры даны для импульсов 1 и 4.
размеры и располагаются в верхней полуплоскости. По мере увеличения длительности и смещения фаз импульсов вправо контуры заходят в нижнюю полуплоскость и пересекают мнимую ось В.
Параллельное рассмотрение того или иного нестационарного процесса во временном и частотном аспектах, если есть однозначное соответствие между ними, очень важно как при анализе колебаний, так и при обосновании параметров сейсмической аппаратуры.
При рассмотрении относительно коротких импульсов типа тех, которые наблюдаются на сейсмограммах, часто оперируют понятием видимого периода колебаний и соответственно видимой частоты. Последняя определяется положением главного максимума амплитудного спектра.
Часто наряду с амплитудами колебательного процесса F(O рассматривают его энергию в интервале от Z1 до t2, определяемую интегралом
