Поиски и разведка месторождений полезных ископаемых - Авдонин В.В.
ISBN 978-5-902357-74-2
Скачать (прямая ссылка):
В большинстве методов интерполяции, за исключением методов наименьшей кривизны и полиномиальной регрессии, в которых используются все точки, сначала задается диаметр поискового круга (или эллипса). Все точки, попавшие в поисковый круг, используются для расчета взвешенного среднего, которое будет приписано очередному узлу грида. Веса, с которыми будут учитываться исходные точки, в той или иной мере зависят от расстояния от узла до этой точки. Разные методы интерполяции — это разные способы взвешивания исходных данных в зависимости от расстояния.
Кригинг
В кригинге, как методе интерполяции, взвешивание производится, пожалуй, сложнее, чем во всех других методах. Рис. 9.17.1 частично иллюстрирует этот процесс.
Допустим, что в наш поисковый круг попали 3 точки 1, 2 и 3. В левом верхнем прямоугольнике показано их взаимное расположение и их положение вокруг оцениваемой точки 0 (она помечена крестом). В левом верхнем прямоугольнике точки 1, 2 и 3 соединены между собой. В правом верхнем прямоугольнике показаны те же точки, но они соединены с оцениваемой точкой О. В средней части рисунка два раза повторена сферическая модельная функция, подогнанная под экспериментальную вариограмму.
В нижней части рисунка приведено линейное матричное уравнение, в левой части которого (в колонке) стоят веса точек а,, а2 и а3. Их и нужно определить. Для этого нужно заполнить матрицу у,у {/ = 1, 2, 3;у = 1, 2, 3} и колонку Yo.(і = Ir 2, 3}. Это делается так.
нам!
Берем расстояние от точки 1 до точки 2 и откладываем его на левой вариограмме (следите за стрелками). Значение модельной функции, соответствующее расстоянию между точками 1 и 2, заносим в два места матрицы, обозначенные у,2и у21. Матрица симметричная, и эти члены матрицы равны друг другу. Точно так же поступаем со следующей парой точек. По расстоянию между точками 1 и 3 находим значение вариограммы и вставляем его на места у13 и y3i. Аналогично находим и вписываем на соответствующие места значения у23 и у32. По диагонали этой матрицы стоят значения Y00. Они равны общей дисперсии изучаемой переменной у» = о2.
Теперь нам остается заполнить правую колонку матричного уравнения. Сюда помещаются значения модельной вариограммы y0i, Y02. Уоз- соответствующие расстояниям между центральной точкой О и точками 1, 2 и 3. Теперь матричное уравнение решается одним из многих способов нахождения коэффициентов системы линейных уравнений. При решении способом, выбранным Ж. Матероном, появляется небольшое по величине число (1 — множитель Лагранжа. Чем множитель меньше, тем лучше решена система линейных уравнений.
Такова схема формирования системы уравнений для нахождения коэффициентов кригинга а(. Сама кри-гинговая оценка равна:
Здесь Zk — кригинговая интерполяционная оценка изучаемой переменной, a Z1 — значения переменной в п точках, попавших в крут поиска. В нашем примере в поисковый круг попали всего 3 точки. Обычно же, на практике, в поисковый круг попадает несколько десятков окружающих проб. Соответственно и матричное уравнение расширяется до десятков строк и столбцов.
Считается, что кригинг — это интерполяционная процедура, дающая оценки с наименьшей дисперсией. Дисперсия кригинга равна:
1=1
п
432
1=1
HHhBTWtE НЦЕШШІІЕ HEETiHMgIIi и ГЕКТИДЕТИЕШІ ІЦЕЧЕТ...
где о2„ — порог; а, — коэффициенты (веса) кри-гинга; с0( — ковариация между точкой оценивания и /-й точкой; JU — множитель Лагранжа.
Чем меньше дисперсия кригинга по сравнению с общей дисперсией, тем лучше качество полученной оценки.
Точечный кригинг
Существует несколько разновидностей кригинга: точечный (или ординарный кригинг); блочный кригинг (или кригинг блоков); универсальный кригинг; индикаторный кригинг; полииндикаторный кригинг; ко-кри-гинг. В данном учебнике дается только ознакомительный курс геостатистики. Поэтому здесь приводятся начальные сведения о наиболее важных и понятных процедурах, а именно, точечный и блочный кригинги. Остальное читатель должен будет осваивать сам по мере накопления опыта решения геостатистических задач.
Точечный, или ординарный, кригинг. Авторы советуют использовать термин точечный, так как он подчеркивает суть этого метода — интерполяционную оценку значения исследуемой пространственной переменной в точке. Альтернативное название «ординарный» толком ничего не проясняет. Английское слово ordinary имеет множество возможных переводов (обычный, обыкновенный, простой, заурядный, посредственный и т. п.), ничего не говорящих о сути этого способа.
А суть этого метода как раз и заключается в том, что найденное значение переменной относится к точке, имеющей вполне определенные три координаты X, у hz. Как это делается, достаточно подробно рассказано на предыдущей странице.
Перекрестная проверка
Перекрестная проверка — по-английски cross validation — была придумана для того, чтобы выбирать лучшие модельные функции вариограмм, если оказалось несколько альтернативных моделей. Попробуем
гш!
освоить метод перекрестной проверки на упрощенном примере.
